14、信号处理中的Z变换与滤波器设计

信号处理中的Z变换与滤波器设计

1. 零极点图相关知识

零极点图是分析滤波器传递函数的重要工具。对于FIR滤波器，其零极点图实际上就是零点图，因为理论上因果FIR滤波器在原点（z = 0）有多重极点，但这对稳定性没有影响，所以通常不考虑。

线性相位FIR滤波器是一种特殊的FIR滤波器。线性相位对CCDE系数（即滤波器抽头）施加了一些对称约束。如果(z_0)是系统的一个（复）零点，那么(1/z_0)也是零点。由于只考虑实值FIR滤波器，一个复零点(z_0)的存在意味着还存在另外三个零点，即(1/z_0)、(z_0^ )和(1/z_0^ )。

在滤波器级联时，可能会出现零极点相消的情况。级联K个滤波器的总传递函数是各个滤波器传递函数的乘积，即(H(z) = \prod_{i=1}^{K} H_i(z))。如果某个(H_i(z))的极点与另一个传递函数的零点重合，就会在总传递函数中出现零极点相消。这在理论上是一种稳定不稳定滤波器的方法。若系统的一个极点（假设为因果系统）位于单位圆外，可以通过将一个合适的一阶或二阶FIR部分与原始滤波器级联来补偿该极点。但在实际实现中，要注意数值精度问题可能会影响零极点相消的效果。

根据零极点图可以大致估算滤波器传递函数的幅度形状。基本思路是考虑(\vert H(z)\vert)，它是一个三维图。可以想象在复平面上覆盖一张“橡胶片”，每个零点对应橡胶片“粘”在平面上的点，每个极点对应将橡胶片“推”向无穷远的“柱子”，(\vert H(z)\vert)的形状就像一个非常不对称的“马戏团帐篷”，传递函数的幅度就是这个帐篷在单位圆周围的高度。具体绘制传递函数幅度的步骤如下：
1. 检查单位圆上的零点，这些零点