6、信号处理中的正交基、信号空间与傅里叶分析

信号处理中的正交基、信号空间与傅里叶分析

1. 正交基近似的关键性质

在信号处理里，用正交基进行近似有一个关键特性，即可以逐步细化。假设已经得到正交基前 $m$ 项的近似：
$\hat{y} m = \sum {k=0}^{m - 1} \langle x(k), y \rangle x(k)$
若要计算 $(m + 1)$ 项的近似，可通过下式简单得出：
$\hat{y}_{m + 1} = \hat{y}_m + \langle x(m), y \rangle x(m)$
这看似显而易见，实则是个小奇迹，因为对于更一般的非正交基，此性质并不成立。

2. 基的示例

2.1 有限欧几里得空间

对于最简单的希尔伯特空间 $\mathbb{R}^N$，正交基最为直观，它包含 $N$ 个相互正交的单位范数向量。经典例子是规范基 ${\delta(k)} {k = 0…N - 1}$，其中：
$\delta(k)_n = \delta[n - k]$
此外，还有傅里叶基 ${w(k)}$，其表达式为：
$w(k)_n = e^{j\frac{2\pi}{N}nk}$
在 $\mathbb{R}^N$ 中，分析和合成公式具有特别简洁的形式。对于任意一组 $N$ 个正交向量 ${x(k)}$，可将基向量的共轭排列成一个 $N×N$ 的方阵 $M$，使得每个矩阵元素是第 $m$ 个基向量的第 $n$ 个元素的共轭：
$M {mn} = (x(m) n)^*$
$M$ 被称为基变换矩阵。给定向量 $y$，展开系数 $