2、理解计算机内部的数据表示：从二进制到整数的深度剖析

理解计算机内部的数据表示：从二进制到整数的深度剖析

1 固定精度的二进制数

在计算机科学中，二进制数是计算机处理和存储数据的基础。计算机只能理解由0和1组成的二进制数，因此我们需要掌握如何将十进制数转换为二进制数，反之亦然。此外，计算机使用固定数量的位（bit）来存储数字，这限制了可以表示的值的范围。

1.1 二进制数的基本概念

计算机使用二进制数来表示数据。与我们熟悉的十进制数不同，二进制数只包含两个符号：“0”和“1”。例如，十进制数1234在二进制中表示为10011010010。基数越小，表示相同值所需的数字就越多，因此大的二进制数既繁琐又容易出现抄录错误。

2 位置数字系统

为了更好地理解二进制数，我们需要了解位置数字系统的工作原理。位置数字系统使用符号序列来表示大数字。每个符号的算术值根据其位置加权。例如，十进制序列1234的值可以用多项式表示为：

[ 1234_{10} = 1 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 4 \times 10^0 ]

2.1 二进制转十进制转换

将二进制数转换为十进制数时，我们只需在多项式中使用2的幂而不是10的幂。例如，将二进制数1011.0111₂转换为十进制如下：

[ 1011.0111_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} + 1 \times 2^{-4}