11、概率框架与计算学习理论全解析

概率框架与计算学习理论全解析

在概率与机器学习的领域中，概率框架和计算学习理论是两块重要的基石。概率框架为我们理解随机变量的各种特性提供了理论基础，而计算学习理论则聚焦于机器学习算法的可行性和设计分析。下面将详细展开介绍这两方面的内容。

概率基础理论

概率基础理论涵盖了多个重要的概念，这些概念为后续的概率分析和机器学习算法设计奠定了基础。
- 期望 ：期望是随机变量的一个重要特征，它反映了随机变量取值的平均水平。对于离散随机变量，其期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和。例如，以骰子为例，骰子的取值范围是 $\text{Val}(X) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$，其期望为：
[
\mathbb{E}[X] = \sum_{a = 1}^{6} a \cdot P(X = a) = 3.5
]
其中 $P(\cdot)$ 是概率质量函数。对于连续随机变量，其期望是通过勒贝格积分来计算的：
[
\mathbb{E}[X] = \int_{a \in X} x \cdot p(x) dx
]
这里 $p(\cdot)$ 是概率密度函数。随机变量 $X$ 的期望也可以用 $\mu$ 表示。
- 方差和标准差
- 方差 ：方差是衡量随机变量分布范围的一个指标，它定义为随机变量与其期望之差的平方的期望，即：
[
\text{var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]
]
方差反映了随机变量偏