频谱性质及信号频谱分析思路

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#信号处理 #信息与通信

文章详细阐述了实信号的奇偶分解，以及实偶和实奇信号在频域中的特性。实信号的傅里叶变换呈现出共轭对称性，实部为偶对称，虚部为奇对称。分析信号频谱变化的方法是通过研究实部和虚部的频谱变换，进而获取幅度谱和相位谱的变化情况。

频谱性质及信号频谱分析思路

1.实信号的奇偶分解

一个实信号 $x (t)$ 可以分解为奇信号 $x_{odd}(t)$ 和偶信号 $x_{even}(t)$ :
$x_{odd}(t) + x_{even}(t)\\ \begin{align} \left \{ \begin{array}{lr} x_{even}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2} \nonumber &\\ x_{odd}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2} &\\ \end{array} \right. \end{align} \\$

2.实偶与实奇信号的频谱具有奇偶性

a.实偶信号性质：x(t)为实偶信号，其傅里叶变换 $X (j w)$ 为实偶

b.实奇信号性质：x(t)为实奇信号，其傅里叶变换 $X (j w)$ 为虚奇

3.实信号的频谱的共轭对称性

综合1，2性质可以得出实信号的频谱具有共轭对称性。

x(t)为实信号，其傅里叶变换 $X (j w)$ 具有如下性质：
$X^*(-jw)\\ \begin{align} \left \{ \begin{array}{lr} 实部偶对称:Re\{X(jw)\} = Re\{X(-jw)\},x_{even}(t)\longrightarrow Re\{X(-jw)\} \nonumber &\\ 虚部奇对称:Im\{X(jw)\} = -Im\{X(-jw)\},x_{odd}(t)\longrightarrow Im\{X(jw)\} &\\ \end{array} \right. \end{align} \\ \begin{align} \left \{ \begin{array}{lr} 幅度偶对称:|X(jw)| = |X(-jw)| \nonumber &\\ 相位奇对称:\theta\{X(jw)\} = -\theta\{X(-jw)\} &\\ \end{array} \right. \end{align}$