频谱性质及信号频谱分析思路
1.实信号的奇偶分解
一个实信号
x
(
t
)
x(t)
x(t)可以分解为奇信号
x
o
d
d
(
t
)
x_{odd}(t)
xodd(t)和偶信号
x
e
v
e
n
(
t
)
x_{even}(t)
xeven(t):
x
(
t
)
=
x
o
d
d
(
t
)
+
x
e
v
e
n
(
t
)
{
x
e
v
e
n
(
t
)
=
x
(
t
)
+
x
(
−
t
)
2
x
o
d
d
(
t
)
=
x
(
t
)
−
x
(
−
t
)
2
x(t) = x_{odd}(t) + x_{even}(t)\\ \begin{align} \left \{ \begin{array}{lr} x_{even}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2} \nonumber &\\ x_{odd}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2} &\\ \end{array} \right. \end{align} \\
x(t)=xodd(t)+xeven(t){xeven(t)=2x(t)+x(−t)xodd(t)=2x(t)−x(−t)
2.实偶与实奇信号的频谱具有奇偶性
a.实偶信号性质：x(t)为实偶信号，其傅里叶变换 X ( j w ) X(jw) X(jw)为实偶
b.实奇信号性质：x(t)为实奇信号，其傅里叶变换 X ( j w ) X(jw) X(jw)为虚奇
3.实信号的频谱的共轭对称性
综合1，2性质可以得出实信号的频谱具有共轭对称性。
x(t)为实信号，其傅里叶变换
X
(
j
w
)
X(jw)
X(jw)具有如下性质：
X
(
j
w
)
=
X
∗
(
−
j
w
)
{
实部偶对称
:
R
e
{
X
(
j
w
)
}
=
R
e
{
X
(
−
j
w
)
}
,
x
e
v
e
n
(
t
)
⟶
R
e
{
X
(
−
j
w
)
}
虚部奇对称
:
I
m
{
X
(
j
w
)
}
=
−
I
m
{
X
(
−
j
w
)
}
,
x
o
d
d
(
t
)
⟶
I
m
{
X
(
j
w
)
}
{
幅度偶对称
:
∣
X
(
j
w
)
∣
=
∣
X
(
−
j
w
)
∣
相位奇对称
:
θ
{
X
(
j
w
)
}
=
−
θ
{
X
(
−
j
w
)
}
X(jw) = X^*(-jw)\\ \begin{align} \left \{ \begin{array}{lr} 实部偶对称:Re\{X(jw)\} = Re\{X(-jw)\},x_{even}(t)\longrightarrow Re\{X(-jw)\} \nonumber &\\ 虚部奇对称:Im\{X(jw)\} = -Im\{X(-jw)\},x_{odd}(t)\longrightarrow Im\{X(jw)\} &\\ \end{array} \right. \end{align} \\ \begin{align} \left \{ \begin{array}{lr} 幅度偶对称:|X(jw)| = |X(-jw)| \nonumber &\\ 相位奇对称:\theta\{X(jw)\} = -\theta\{X(-jw)\} &\\ \end{array} \right. \end{align}
X(jw)=X∗(−jw){实部偶对称:Re{X(jw)}=Re{X(−jw)},xeven(t)⟶Re{X(−jw)}虚部奇对称:Im{X(jw)}=−Im{X(−jw)},xodd(t)⟶Im{X(jw)}{幅度偶对称:∣X(jw)∣=∣X(−jw)∣相位奇对称:θ{X(jw)}=−θ{X(−jw)}
4.一种分析信号频谱变化的思路
分析一个实信号的频谱变化可以通过分别分析实信号频谱的实部和虚部频谱变换，然后在通过对应频点取模的方式获取其变换后的幅度和相位图。
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