典型信号的傅里叶变换，幅度频谱、相位频谱及变换性质（考研加期末复习）

这里有信号吗？

已于 2024-07-16 16:43:00 修改

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文章标签：信号处理信息与通信

于 2024-07-09 19:09:58 首次发布

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版权

说明

本人基于教材及部分网络资料归纳总结，用于考研或者期末复习的同学。本文介绍了常见信号的傅里叶变换与其幅度、相位频谱及变换性质，也加以部分推算过程及例题，内容比较全面。本人能力有限，如有错误请联系作者改正，注意仔细甄别。

一典型信号

记住常见变换对，其余的可以通过定义推算，部分考题会有画频谱图，因此本文有介绍

1.1矩形脉冲信号

$f(t)=Ag_{\tau }(t)$

其傅里叶变换为： $F(j\omega )=A\tau Sa(\frac{\omega \tau }{2})$

幅度频谱： $\left | F(j\omega ) \right |=A\tau \left | Sa(\frac{\omega \tau }{2}) \right |$ 相位频谱： $\varphi (\omega )=\left\{\begin{matrix} \pi , Sa(\frac{\omega \tau }{2})\leqslant 0 & \\ 0, Sa(\frac{\omega \tau }{2})> 0 \end{matrix}\right.$

提示：若这里看不懂相位谱如何确定的可跳转至链接https://blog.youkuaiyun.com/m0_67648017/article/details/140402299?spm=1001.2014.3001.5501

1.2正三角形脉冲信号

$f(t)=A\Delta _{2\tau }(t)$

其傅里叶变换为： $F(j\omega )=A\tau Sa^{2}(\frac{\omega \tau }{2})$

幅度频谱： $|F(j\omega )|=A\tau |Sa^{2}(\frac{\omega \tau}{2})|$ 相位频谱： $\varphi (\omega )=0$

1.3单边实指数信号

$f(t)=e^{-\alpha t}\varepsilon (t)$

其傅里叶变换为： $F(j\omega )=\frac{1}{\alpha +j\omega } ,\alpha > 0$

幅度频谱： $|F(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}$ 相位频谱： $\varphi (\omega )=-arctan(\frac{\omega }{\alpha })$

1.4双边实指数信号

$f(t)=e^{-\alpha |t|}$

$F(j\omega )=\frac{2\alpha }{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}$

幅度频谱： $|F(j\omega )|=\frac{2\alpha }{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}$ 相位频谱： $\varphi (\omega )=0$

1.5符号函数

$f(t)=sgn(t)$

其傅里叶变换： $F(j\omega)\leftrightarrow \frac{2}{j\omega}$

未完待续........

1.6直流信号（常数信号）

$f(t)=c\leftrightarrow 2\pi c\delta(\omega)$

1.7单位阶跃信号

$f(t)=\varepsilon (t)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$

1.8高斯脉冲信号(不常考）

$f(t)=Ae^-(\frac{t}{\tau})^{2}\leftrightarrow \sqrt{\pi}A\tau e^-{(\frac{\omega\tau}{2})^2}$

1.9单位冲激信号

$f(t)=\delta(t)\leftrightarrow 1$

1. 10冲激偶信号

$f(t)={\delta }'(t)$

其傅里叶变换： $F(j\omega)=j\omega$

定义推导： $F(j\omega)=\int_{-\infty }^{\infty}{\delta (t)}'e^{-j\omega t}dt$ (由性质 $\int_{-\infty }^{\infty}{\delta (t)}'f(t)dt=-{f(0)}'$ )

$\Rightarrow F(j\omega)=j\omega$

未完待续.....

1.11其他傅里叶变换对

图中 $u(t)$ 就是 $\varepsilon (t)$ ，部分教材不同，写法不一样，但结果都是一样的。下图都是常考的对于考研和复习下面变换对足矣

二傅里叶变换性质

性质尤为重要，部分没有推算过程可结合书自己推算

2.1线性

若 $f(t)\leftrightarrow F(j\omega )$

1）齐次性: $af(t)\leftrightarrow aF(j\omega )$

2）叠加性: $f_{1}(t)+f_{2}(t)\leftrightarrow F_{1}(j\omega )+F_{2}(j\omega)$

3）线性性质: $af_{1}(t)+bf_{2}(t)\leftrightarrow aF_{1}(j\omega)+bF_{2}(j\omega)$

2.2对称性

若 $f(t)\leftrightarrow F(j\omega )$ ,则 $F(jt)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega )$ ，推导公式如下：

$\Rightarrow f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$ ( $2\pi$ 乘到左边，将 $t$ 换成 $-t$ )

$\Rightarrow 2\pi f(-t)= \int_{-\infty }^{\infty}F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$ (将 $t$ 换成 $\omega$ )

$\Rightarrow 2\pi f(-\omega )=\int_{-\infty }^{\infty}F(jt)e^{-j\omega t}dt$ (由定义）

$\Rightarrow 2\pi f(-\omega )\leftrightarrow F(jt)$ (证毕)

若 $f(t)$ 为实偶函数，则 $2\pi f(\omega )\leftrightarrow F(jt)$

例2.1 求信号 $\frac{1}{t}$ 的傅里叶变换

解题思路：由 $\frac{1}{t}$ 形式想到符号函数的傅里叶变换是： $sgn(t)\leftrightarrow \frac{2}{j\omega }$

解：由傅里叶对称性可得 $2\pi sgn(-\omega )\leftrightarrow \frac{2}{jt}$ (左边乘 $\frac{2}{j}$ ,且 $sgn(t)$ 是实偶函数）

$\Rightarrow \frac{1}{t}\leftrightarrow j\pi sgn(\omega)$

例2.2 求 $Sa(t)$ 的傅里叶变换（解析在链接里面）http://file:///C:/Users/86187/Desktop/Untitled-1.html

例2.3 $f(t)$ 图像如下，已知 $f(t)\leftrightarrow F(j\omega)$ ，求 $\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)Sa(\omega)d\omega$

疑难点：

1）利用卷积和对称性质

2）利用对称性和傅里叶变换定义式建立等式联系

3）画图确定积分域，确定积分大小

举一反三：同理我们可以求 $\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)2Sa(\omega)e^{-2j\omega}d\omega$

2.3尺度压扩性质

$f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a} )$ （具体推算过程不做介绍，按定义推算）

2.4时移性质

$f(t\pm t_{0})\leftrightarrow F(j\omega )e^{\pm j\omega t_{0}}$

$f(at\pm t_{0})\leftrightarrow \tfrac{1}{|a|}F(j\frac{\omega }{a})e^{\pm j\frac{\omega}{a}t_{0}}$ (更一般化，建议记住这个，但是由时移与尺度压括性质推出来的）

2.5频移性质

$f(t)e^{\pm j\omega _{0}t}\leftrightarrow F[j(\omega\mp \omega_{0})]$

例2.3 求虚指数信号 $e^{\pm j\omega_{0}t}$ 的傅里叶变换

解题思路： $e^{\pm j\omega _{0}t}$ 可以看作 $1\cdot e^{\pm j\omega _{0}t}$ ，相当于 $f(t)= 1$ 做频移

解 $1\leftrightarrow 2\pi\delta (\omega)$

$\Rightarrow e^{\pm j\omega_{0}t} \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega\mp\omega_{0})$

例2.4 求 $cos(\omega_{0}t)$ 的频谱

解题思路： $cos(\omega_{0}t)=\frac{1}{2}\left ( e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t} \right )$

2.6调制性质

原理就是将 $f(t)$ 乘以 $cos(\omega_{0}t)$ 或 $sin(\omega_{0}t)$ ，推算过程与例2.4一致

$f(t)cos(\omega_0t)\leftrightarrow \frac{1}{2}\left \{ F[j(\omega-\omega_0)+j(\omega+\omega_0)] \right \}$

$f(t)sin(\omega_0 t)\leftrightarrow \frac{1}{2j}\left \{ F[j(\omega-\omega_0)-j(\omega+\omega_0)] \right \}$

2.7时频域卷积性质

口诀：时域卷积，频域乘积。频域卷积，时域 $\frac{1}{2\pi}$ 乘积

$f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(j\omega)\cdot F_2(j\omega)$

$\frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega)\leftrightarrow f_1(t)\cdot f_2(t)$

例2.5 计算 $f(t)cos^2(\omega_0t)$ 的傅里叶变换

解题思路：由调制定理与卷积性质可知 $FT [f(t)cos^2(\omega_0t)]=\frac{1}{2\pi}F(j\omega)*FT [cos^2(\omega_0 t)]$ 而 $cos^2(\omega_0t)$ 可以先与 $F(j \omega)$ 进行一次调制再进行卷积，也可以利用三角函数降幂公式先将 $cos^2(\omega_0t)$ 进行降幂。

记住结论就好，推演过程就是利用卷积定义和傅里叶变换定义来推算

2.8时域微分性质

$f^{(n)}(t)\leftrightarrow (j\omega)^{n}F(j\omega)$

(注意！记住性质就好，下面例题是最重要的）

问题难点：1）针对 $F_1(j\omega)$ ,其中 $\frac{1}{j\omega}$ 中 $\omega$ 要求不为0，所以需要求出 $F_1(0)$ , $F_1(0)=\int_{0}^{1}f_1(t)e^{-j\omega t}dt|_{\omega=0}=\frac{1}{2}$ （三角形面积）

2）针对含有直流分量的信号，需要先求出交流部分，再套用公式： $\pi[f(-\infty)+f(+\infty)]\delta(\omega)$ ,最后两部分相加

3）注意有跳变的地方，在求微分时会产生冲激，冲激方向与跳变方向一致

4）连接处的点，如果在该点不可导（左导数不等于右导数），则可以忽略直流部分信号，如图(b),1点不可导，1右边直流信号可以忽略

（注意！难点4仅针对于做题技巧，不具备官方教学参考性）

2.9频域微分性质

$\pi f(0)\delta(t)+\frac{f(t)}{-jt}\leftrightarrow F^{(-1)}(\omega)=\int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega$

三周期信号的傅里叶变换

下文将 $FT$ 记作傅里叶变换符号

$F_{T}(j\omega)=FT\left [ f_{T}(t)\right ]=\sum_{n=-\infty }^{\infty}F_{n}FT \left[ e^{jn\omega_{0}t}\right]$ （由前面可知 $e^{j n\omega_{0}t}$ 是直流信号1作傅里叶变换后进行频移）

$\Rightarrow F_{T}(j\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\delta(\omega-n\omega_0)$

总结：当我们求周期信号的傅里叶变换时，只需要求其傅里叶级数 $F_n$

例3.1 求单位冲激序列的傅里叶变换

$\delta _{T}(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\delta(t-nT)$

由此可知，只需要求 $\delta_T(t)$ 的 $F_n$ 即可

而 $F_n=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)e^-{jn\omega_0t}dt$ ,由冲激函数加权性质 $\Rightarrow F_n=\frac{1}{T}$

所以 $FT [\delta_T(t)]=\frac{2\pi}{T}\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_0)=\omega_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_0)$