四元数公式推导

在看PhysX源码的时候，看到四元数公式，想知道怎么推导过来的，因为网上一大片帖子都是直接写上这个公式。最主要是纠结公式中角度的一半是如何来的

公式

参考[2] 10.4.3
$$\begin{array}{rl}q& =[cos(\theta /2),sin(\theta /2)\vec{n}]\\ & =[cos(\theta /2),sin(\theta /2)n_x,sin(\theta /2)n_y,sin(\theta /2)n_z]\end{array}$$

推导

参考[6]直接给出了证明，下面自己推导一遍

三维空间旋转公式

先抛开四元数，我们去求一个三位空间向量绕固定轴旋转之后的向量的公式是什么？也就是参考[2]书中提到的轴-角式旋转。而四元数是跟轴-角式的旋转相关的，先以这个为基础，再去推导四元数的公式会容易理解一些。
和参考[6]一样，用的右手坐标系，主要是用的绘图软件[9]，右手坐标系好看点。

设定：

• 任意向量$v\text{v}v$(向量用粗体小写字母表示)
• 绕经过原点的旋转轴$u\text{u}u={(x,y,z)}^T$
• 右手坐标系，绕向量$pmbu$从箭头到原点方向逆时针旋转角度$\theta$
• $u\text{u}u$是单位向量：$\Vert u\text{u}u\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$

为了简单起见，看下图所示

1.向量分解

将$v\text{v}v$分解为平行于$u\text{u}u$的${v\text{v}v}_{\Vert }$，和垂直于$u\text{u}u$的${v\text{v}v}_{\perp }$
$$v\text{v}v={v\text{v}v}_{\Vert }+{v\text{v}v}_{\perp }$$
分别旋转这两个分向量，再把最后旋转的两个分量相加，得到旋转后的向量${v\text{v}v}^{{}^{\prime }}$
$${v\text{v}v}^{{}^{\prime }}={{v\text{v}v}_{\Vert }}^{{}^{\prime }}+{{v\text{v}v}_{\perp }}^{{}^{\prime }}$$

如下图所示：

根据正交投影公式
$$\begin{array}{rl}{v\text{v}v}_{\Vert }& =\frac{u\text{u}u.v\text{v}v}{u\text{u}u.u\text{u}u}u\text{u}u\\ & =(u\text{u}u.v\text{v}v)u\text{u}u(\Vert u\text{u}u\Vert =1)\end{array}$$

因为$v\text{v}v={v\text{v}v}_{\Vert }+{v\text{v}v}_{\perp }$，所以
$$\begin{array}{rl}{v\text{v}v}_{\perp }& =v\text{v}v-{v\text{v}v}_{\Vert }\\ & =v\text{v}v-(u\text{u}u.v\text{v}v)u\text{u}u\end{array}$$

接下来分别计算~

2.水平方向${v\text{v}v}_{\Vert }$的旋转

因为平行向量${v\text{v}v}_{\Vert }$绕$u\text{u}u$旋转任意角度之后还是自身，所以有：
$${{v\text{v}v}_{\Vert }}^{{}^{\prime }}={v\text{v}v}_{\Vert }$$

3.垂直方向${v\text{v}v}_{\perp }$的旋转

三维空间如图所示：

用2D的俯视图，会更容易看到清楚，对应于上图的下面一个虚线的圆

借助一个向量$w\text{w}w=u\text{u}u\times {v\text{v}v}_{\perp }$
注意：右手坐标系统，叉乘顺序
$$\begin{array}{rl}\Vert w\text{w}w\Vert & =\Vert u\text{u}u\times {v\text{v}v}_{\perp }\Vert \\ & =\Vert u\Vert .\Vert {v\text{v}v}_{\perp }\Vert .sin(\pi /2)\\ & =\Vert {v\text{v}v}_{\perp }\Vert \end{array}$$

将${v\text{v}v}_{\perp }^{{}^{\prime }}$分解到$w\text{w}w$和${v\text{v}v}_{\perp }$上，可以简单算出来下面的等式
$$\begin{array}{rl}{v\text{v}v}_{\perp }^{{}^{\prime }}& ={v\text{v}v}_v^{{}^{\prime }}+{v\text{v}v}_w^{{}^{\prime }}\\ & =cos(\theta ){v\text{v}v}_{\perp }+sin(\theta )w\text{w}w\\ & =cos(\theta ){v\text{v}v}_{\perp }+sin(\theta )(u\text{u}u\times {v\text{v}v}_{\perp })\end{array}$$
书上说提到用一点三角学的公式，其实主要是下面的这个三个向量的模都相等。按照投影或者分解，本应该是 v v ′ = c o s ( θ ) v ⊥ ′ \pmb v^{'}_v = cos(\theta) \pmb v^{'}_\bot vvvv