四元数球面差值公式推导

最新推荐文章于 2023-04-13 10:58:23 发布
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#四元数 #Unity

本文详细介绍了四元数球面差值（Slerp）公式的推导过程，从结论出发，通过证明一个引理，逐步展开计算，最终得出qm=sinθqa⋅sin((1−t)θ)+qb⋅sin(tθ)这一插值公式。该公式用于四元数在0到1之间的平滑插值，适用于Unity等3D游戏引擎中的旋转平滑过渡。

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四元数球面差值公式推导

惯例先废话 其实去年就推过这个 不过当时忙别的就一直没写 前两天回想起来 发现再推一边还是费了一些时间 所以决定还是来记录一下以下正文

还是先说结论

qm=qa⋅sin((1−t)θ)+qb⋅sin(tθ)sinθqm = \frac{qa·sin((1-t)\theta)+qb·sin(t\theta)}{sin\theta}qm=sinθqa⋅sin((1−t)θ)+qb⋅sin(tθ)​
其中:qm为插值结果
qa为插值起点
qb为插值终点
t为插值步长 取值范围0~1
θ\thetaθ为从qa转到qb旋转过的角度的一半

这里先证明一个引理

假设 q1 , q2 , q 都是四元数,
从 q1 变换到 q2 对应的四元数为 q ,转过角度的一半为 θ\thetaθ
则q2=q1⋅qq2=q1·qq2=q1⋅q
左右同乘 q1 的逆 q1−1q1^{-1}q1−1 得
q=q1−1q2q=q1^{-1}q2q=q1−1q2
因为四元数相等,所以两四元数的实部(即ω\omegaω分量)对应相等
令real() 表示取实部操作 则有
real(q1−1q2q1^{-1}q2q1−1q2) = real(q) = cosθ\theta

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jin_syuct的专栏
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委婉梵蒂冈梵蒂冈地方
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u012947821的专栏
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