【转】四元数的推导过程

【转】四元数的推导过程

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四元数旋转推导过程

1.基本概念

(1) 四元数的一般形式如下:q=q0+q1i+q2j+q3kq=q0+q1i+q2j+q3k 
(2) 单位四元数:满足四元数的模为1,即q02+q12+q22+q32=1q02+q12+q22+q32=1 
(3) 四元数的三角形式:q=cosθ2+u⃗ sinθ2q=cosθ2+u→sinθ2 
(4)共轭四元数:q∗=q0−q1i−q2j−q3kq∗=q0−q1i−q2j−q3k 
(5) 纯四元数:q=q1i+q2j+q3kq=q1i+q2j+q3k 
(6)四元数与空间旋转:

 

Rq(p)=qpq−1Rq(p)=qpq−1

其中: 
qq:单位四元数 
q−1q−1:四元数的逆,对于单位四元数,q∗=q−1q∗=q−1 
pp:纯四元数 
Rq(p):也是一个纯四元数Rq(p):也是一个纯四元数

 

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2. 欧拉角的万向锁问题

先看一个简单的欧拉旋转，如下图所示：欧拉旋转需要先确定旋转顺序，我们可以定义X-Y-Z的顺序（总共有12种旋转顺序），那么什么是万向锁呢，我们可以用手机在桌子上进行旋转，以手机的正面为xy平面，以手机的厚度的方向作为z轴，我们先绕x转一个角度，然后再绕y轴旋转90度，我们会发现一个问题，当我们再绕z轴旋转一个角度，效果等同于我开始绕x轴旋转另外一个角度,再绕y轴旋转90度就行了. 
 
我们的欧拉旋转只能表示二维空间了，这是解我们的微分方程会出现退化现象，造成我们的微分方程无法解的情况。这样说似乎还是比较模糊，那么我们举一个例子: 

如图所示:XwYwZwXwYwZw是世界坐标系,XiYiZiXiYiZi是机体坐标系,我们先绕XiXi轴旋转30∘30∘,再绕YiYi旋转90∘90∘,如下图所示: 
 
此时我们的XwXw和ZiZi在同一直线上,最后我们再绕ZiZi旋转40∘40∘,如下图所示: