70、图论与偏序集游戏的算法研究与复杂度分析

图论与偏序集游戏的算法研究与复杂度分析

在图论和组合游戏领域，对最小支配集的枚举以及偏序集游戏的复杂度分析是重要的研究方向。本文将深入探讨最小边支配集的枚举算法，以及任意有限偏序集游戏获胜者判定的复杂度。

最小边支配集的枚举

在图论中，最小边支配集的枚举是一个关键问题。我们可以通过枚举线图中的最小支配集来实现任意图的最小边支配集的枚举，且能在增量多项式时间内完成。

对于线图，我们构建了一个枚举算法。给定图 $G$ 的一个最小支配集 $D^ $，其中 $G[D^ ]$ 有孤立顶点 $v$，$v$ 在 $G$ 中的邻居为 $u$，该算法能以多项式延迟生成一个最小支配集 $D$，它包含 $D^ $ 关于翻转 $u$ 和 $v$ 的所有子支配集，并且对于每个 $D \in D$，都有 $|E(G[D])| > |E(G[D^ ])|$。

下面是一些关键引理和算法步骤：
- 引理 4 ：若 $G$ 是线图，则有：
- $X_{uv} = \emptyset$；
- $Z_{uv}$ 中的每个顶点恰好与 $P_{D^ }(v) \setminus N[u]$ 中的一个顶点相邻；
- $P_{D^ }(v) \setminus N[u]$ 中的每个顶点恰好与 $Z_{uv}$ 中的一个顶点相邻。
- 构建最小支配集 ：考虑一个有 $n$ 个顶点 $v_1, \ldots, v_n$ 和 $m$ 条边的线图 $G$。设 $D^ $ 是最小支配集，$v$ 是 $G[D^ <