54、有界平均度图中的更快指数时间算法

有界平均度图中的更快指数时间算法

在图论算法领域，对于有界平均度图的研究一直是一个重要的方向。本文将介绍几种针对此类图的算法，包括旅行商问题（TSP）的算法以及计算完美匹配数量的算法。

1. 预备知识

在深入了解算法之前，我们需要先明确一些基本的图论概念和符号：
- 图的基本定义 ：
- 对于图 (G = (V, E)) 和顶点 (v \in V)，其邻域 (N_G(v) = {u : uv \in E} \setminus {v})，闭邻域 (N_G[v] = N_G(v) \cup {v})。
- 顶点 (v) 的度 (deg_G(v)) 等于与之关联的边的端点数量，自环对顶点度的贡献为 2。
- (n) 顶点图 (G) 的平均度定义为 (\frac{1}{n} \sum_{v \in V} deg(v) = \frac{2|E|}{n})。
- 循环覆盖 ：在多重图 (G = (V, E)) 中，循环覆盖 (C \subseteq E) 是边的一个子集，对于无向图，每个顶点的度恰好为 2；对于有向图，每个顶点恰好有一条出弧和一条入弧。该定义允许循环覆盖包含长度为 1 的循环（自环）以及将两条不同的平行边视为长度为 2 的循环，但不允许使用同一条边两次。
- 顶点子集 ：用 (V_{deg=c})、(V_{deg>c})、(V_{deg\geq c}) 分别表示度等于 (c)、大于 (c) 和至少为 (c) 的顶点子集。

此外，还需要以下两个著名的界：
- 引理 4 </