51、非对称旅行商问题的Sherali - Adams整性比率

非对称旅行商问题的Sherali - Adams整性比率

线性规划基础

在解决非对称旅行商问题（ATSP）时，线性规划是一种常用的方法。首先给出一个线性规划模型：

minimize
∑ e cexe
subject to
x(δin(S)) ≥ 1, ∀S : ∅⊂S ⊂V
x(δout(S)) ≥ 1, ∀S : ∅⊂S ⊂V
x(δin({v})) = 1,
x(δout({v})) = 1, ∀v ∈V
0 ≤ x ≤ 1

当图 $G$ 是具有度量成本的完全图时，上述线性规划是ATSP的标准线性规划松弛（即DFJ LP）。通过将约束 $x(δin({v})) = 1$ 和 $x(δout({v})) = 1$ 替换为 $x(δin({v})) = x(δout({v}))$ （对于每个顶点 $v$），可以得到平衡线性规划（Bal LP），记 $\hat{ATSP_{BAL}}(G)$ 为Bal LP的可行域（多面体）。

Sherali - Adams系统

• 定义 ：考虑一个多面体 $\hat{P} \subseteq [0, 1]^n$，其由形如 $\sum_{i = 1}^{n} a_iy_i \geq b$ 的线性约束系统描述（包含 $y_i \geq 0$ 和 $y_i \leq 1$ 对所有 $i \in {1, \ldots, n}$）。$\hat{P}$ 的 $t$ 级Sherali - Adams收紧松弛 $SA_t(\hat{P})$ 是一个关于变量 ${y_S : S \subs