46、近似度相关研究：马尔可夫 - 伯恩斯坦不等式与新型倍增扩张器

近似度相关研究：马尔可夫 - 伯恩斯坦不等式与新型倍增扩张器

1. 马尔可夫 - 伯恩斯坦不等式的构造性证明

1.1 不等式介绍

对于实系数多项式，马尔可夫 - 伯恩斯坦不等式表明，对于任意次数至多为 $n$ 的实多项式 $p(x)$，在 $x \in (-1, 1)$ 范围内，有：
$p’(x) \leq \min\left{\frac{n}{\sqrt{1 - x^2}}, n^2\right} |p| {[-1,1]}$
其中，$|p| {[-1,1]} := \sup_{y \in [-1,1]} |p(y)|$。该不等式在理论计算机科学中有诸多应用，特别是与对称化方法结合，用于界定各种函数的 $\epsilon$-近似度。

1.2 证明思路

我们基于线性规划对偶性证明该不等式的一些重要特殊情况。证明具有构造性，会给出一个线性规划的显式对偶解，该线性规划用于界定受约束多项式的导数。

1.3 在 $x = 0$ 处证明不等式

考虑如下线性规划问题，目标是找到实系数多项式 $p(x) = c_nx^n + c_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + c_1x + c_0$，在 $|p| {[-1,1]} \leq 1$ 的约束下最大化 $|p’(0)|$：
- 原问题（Primal）：
- 目标：$\max c_1$
- 约束条件：
- $\sum {i = 0}^{n} c_ix^i \leq 1, \forall x \in [-1, 1]$
- $-\sum_{i = 0