45、近似度的对偶下界与马尔可夫 - 伯恩斯坦不等式

近似度的对偶下界与马尔可夫 - 伯恩斯坦不等式

在理论计算机科学领域，布尔函数的近似度是衡量其复杂度的重要指标。它反映了一个布尔函数能否被低次实系数多项式在 ℓ∞ 范数下近似，并且在电路复杂度、量子计算、通信复杂度和计算学习理论等多个方面都有广泛应用。本文将深入探讨如何通过构造显式的对偶多项式来证明近似度的下界。

1. 引言

近似度的研究为多个领域带来了进展。在电路复杂度中，它有助于分析电路的性能；在量子计算里，可用于证明量子查询复杂度的下界；在通信复杂度方面，对理解通信协议的效率至关重要；在计算学习理论中，近似度的上界是一些学习算法的基础。

本文的主要目标是通过指定显式的对偶多项式来推进对近似度这一基本复杂度度量的理解。这些对偶多项式是捕获任何函数近似度的线性规划的对偶解，可作为函数高近似度的证明。

2. 预备知识

• 布尔函数与近似度 ：我们处理的布尔函数 $f: {-1, 1}^n \to {-1, 1}$，遵循标准约定，$1$ 对应逻辑假，$-1$ 对应逻辑真。函数 $f$ 的 $\varepsilon$-近似度，记为 $\text{deg} \varepsilon(f)$，是满足 $|p - f| \infty \leq \varepsilon$ 的实多项式 $p$ 的最小（总）次数。我们用 $\widetilde{\text{deg}}(f)$ 表示 $\text{deg}_{1/3}(f)$，通常简称为函数的近似度。
• 块敏感度 ：布尔函数 $f$ 在点 $x$ 的块敏感度 $\text{bs}