44、随机在线标签问题与桶排序策略分析

随机在线标签问题与桶排序策略分析

1. 引言

在随机在线标签问题中，我们旨在为一系列输入的元素分配标签，同时要考虑算法的成本。为了分析随机在线标签算法的成本下限，我们引入了桶排序策略，并对其进行了一系列的改进和分析。

2. 桶排序成本函数与问题挑战

在桶排序中，我们通常会使用成本函数来衡量每次操作的代价。最初，我们考虑用一个较小的成本函数来替代原有的成本函数，这个较小的成本函数是合并前桶 $p$ 中的元素数量，我们称之为廉价成本函数。一般来说，这个廉价成本函数比原成本函数的代价要小很多。

然而，当桶的数量至少为 $1 + \log(n)$ 时，存在一种桶排序策略使得使用廉价成本函数的成本为 0。这意味着我们不能直接用这种廉价成本函数来推导随机标签算法成本的下限。

为了解决这个问题，我们引入了尾桶排序（tail bucketing）的概念。在尾桶排序中，将所有元素合并到桶 $p$ 后，我们会重新分配这些元素到桶 $1, \cdots, p$ 中。具体来说，桶 $p$ 保留 $1 - \beta$ 比例的元素，其余元素传递给桶 $p - 1$，桶 $p - 1$ 也进行同样的操作，直到桶 1 保留剩余元素。当 $\beta = 1/6$ 时，我们发现可以将对手策略与尾桶排序联系起来。并且可以证明，当 $k = O(\log n)$ 时，尾桶排序的最小廉价成本为 $\Omega(n \log(n))$，这个下限是渐近最优的，并且可以为随机在线标签问题提供类似的下限。

尾桶排序廉价成本下限的证明包含了一些有趣的步骤。证明过程由不同版本桶排序之间的多次归约组成。这些归约表明，我们可以通过 $k = \frac{1}{4} \l