43、多项式标签下的随机在线标签问题研究

多项式标签下的随机在线标签问题研究

1. 概率理论相关定理

有一个定理是某定理的变体，与原定理有两点不同。原定理考虑任意密度，而这里仅考虑均匀分布；原定理考虑元素取自{-1, 0, 1}的矩阵，这里考虑实值方阵，所以原定理结果不能直接应用。

定理内容

设$X_1, \ldots, X_n$是在$(0, 1]$上均匀分布的独立随机变量，$A = [a_1, \ldots, a_n] \in R^{n×n}$是可逆矩阵，$(Y_1, \ldots, Y_{n - 1}, Z)^T = A·(X_1, \ldots, X_n)^T$是由$A$给出的$X_1, \ldots, X_n$的线性组合，$I: R^{n - 1} \to {[x, x + \varepsilon] : x \in R}$是一个将元组$(y_1, \ldots, y_{n - 1})$映射到长度为$\varepsilon$的区间$I(y_1, \ldots, y_{n - 1})$的函数。那么$Z$位于区间$I(Y_1, \ldots, Y_{n - 1})$的概率可以被界定为：
$Pr[Z \in I(Y_1, \ldots, Y_{n - 1})] \leq \frac{2n\varepsilon}{\delta(a_1, \ldots, a_n) \cdot \min_{k \in [n]} |a_k|}$

2. 随机在线标签问题概述

2.1 问题定义

在具有参数$n$和$m$的在线标签问题中，会得到一个来自全序集合$U$的$n$个项目的序列，需要为每个到达的项目分配一个来自标签集${1, 2, \ldots, m}$的标签，