37、在线三角形计数与检查点放置算法策略

在线三角形计数与检查点放置算法策略

1. 在线三角形计数相关命题

在某些特定条件下，对图中三角形计数问题有相关命题。命题表明，若图 (G) 存在至少 (T^{\frac{2}{3}}) 层的塔，那么 (Pr[B2] \leq 0.001)。下面为您详细分析其证明过程：
- 确定期望层数 ：固定一个至少有 (T^{\frac{2}{3}}) 层的塔。每一层独立地以概率 (p_2) 属于集合 (H)，所以该塔中属于 (H) 的层数的期望为 (p_2T^{\frac{2}{3}})，经过一系列计算可得 (p_2T^{\frac{2}{3}} = (\frac{6}{T^{\frac{1}{3}}})^2\frac{T^{\frac{2}{3}}}{3} = 36(\frac{T_3}{T})^{\frac{2}{3}} \geq 36)。
- 应用切尔诺夫界 ：使用切尔诺夫界（定理 5 的第二个不等式），令 (\mu = 36)，(t = 35)，可得到 (Pr[)塔中没有一层属于 (H(] \leq e^{-36\phi(-\frac{36}{35})} \leq e^{-30} \leq 0.001)。
- 结合命题得出结果 ：结合其他命题，最终可得 (Pr[B2] \leq 0.26 + 0.001 < 0.3)。

2. 在线检查点放置问题概述

在线检查点放置问题旨在持续维护一组 (k) 个检查点，使正在进行的计算能够比完全重启更快地回退。允许的唯一操作是用当前状态替换旧的检查点。目标是找到检查点放置策略，以最小化回退成本，即对