26、非交换性让行列式计算变难

非交换性让行列式计算变难

1. 引言

在数学领域，行列式和积和式是两个重要的概念。对于一个矩阵 $M = (m_{i,j}) \in k^{n×n}$（其中 $k$ 为某个域），行列式的计算公式为：
[
\det M = \sum_{\sigma\in S_n} \text{sgn}(\sigma)m_{1,\sigma(1)} \cdots m_{n,\sigma(n)}
]
行列式在线性代数中起着核心作用，例如可以通过高斯消元法高效计算。当矩阵元素来自某个交换代数时，也存在高效的计算算法。

积和式的定义为：
[
\text{per} M = \sum_{\sigma\in S_n} m_{1,\sigma(1)} \cdots m_{n,\sigma(n)}
]
若矩阵 $M$ 取值为 ${0, 1}$，那么 $\text{per} M$ 就是由 $M$ 定义的二分图的完美匹配数。与行列式在交换代数上易于计算不同，积和式即使在有理数域上也很难计算。

由于行列式和积和式的公式相似，人们尝试修改行列式的计算算法来计算积和式。例如，Godsil 和 Gutman 用行列式近似积和式，但方差很大；Karmarkar 等人通过将基础域扩展到复数域来降低方差；Chien 等人指出，如果能计算元素本身也是矩阵的矩阵的行列式，那么对于 ${0, 1}$ - 矩阵的积和式就存在完全多项式时间随机近似方案。

因此，理解任意有限维代数（特别是非交换代数）上的行列式计算复杂度很重要。此前已有不少研究，如 Nisan 证明了在自由非交换代数 $k\langle X_{i,j}\rangle$ 上计算行列