24、基于顶级树的树压缩技术解析

基于顶级树的树压缩技术解析

在计算机科学领域，树结构的应用十分广泛，如字典树、解析树、后缀树和 XML 数据库等。这些应用常常需要对带标签的树进行导航查询，例如获取节点的标签、父节点、深度、子树大小等信息。然而，树的压缩一直是一个具有挑战性的问题，特别是对于那些包含大量重复子结构的树。

1. 树压缩的背景与挑战

带标签的树 $T$ 是一个有 $n$ 个节点的根有序树，每个节点都有一个来自字母表 $\Sigma$ 的标签。传统的树压缩方法主要有两种：基于有向无环图（DAG）的压缩和基于树文法的压缩。

• DAG 压缩 ：利用子树重复，将树中的子树重复部分进行合并，从而将树表示为一个有向无环图。最小的 DAG 表示是唯一的，并且可以在 $O(n)$ 时间内计算出来。但是，DAG 压缩只能利用根式子树重复，对于树中的内部重复结构无法有效利用。例如，对于一个由 $n$ 个相同标签节点组成的单路径树，DAG 压缩无法实现有效的压缩，其最小 DAG 的大小仍然为 $n$。
• 树文法压缩 ：利用树模式重复，通过树文法来表示树。树文法可以比 DAG 压缩实现指数级的更好压缩，但计算最小树文法是一个 NP 难题，并且现有的树文法压缩方案在支持导航查询时，时间复杂度与文法的高度成正比，可能达到 $\Omega(n)$。

2. 顶级树压缩方案的提出

为了解决上述问题，提出了一种基于顶级树的树压缩方案。该方案的核心思想是将输入树 $T$ 转换为另一个树 $\tilde{T}$，使得树 $T$ 中的树模式重复在 $\tilde{T}$ 中变为