6、线性草图矩的紧下界与双枢轴快速排序的最优分区

线性草图矩的紧下界与双枢轴快速排序的最优分区

线性草图矩的紧下界

在研究线性草图对矩的近似问题时，定理 1 虽最初是针对常数 $p$ 给出的，但证明过程实际上为依赖于 $n$ 的 $p$ 也提供了下界。

当处于一个极端情况，即考虑近似 $\ell_{\infty}$ - 范数时，证明过程可以得出已知的 $\Omega(n)$ 下界。由于任意向量的 $\ell_{(\ln n)/\varepsilon}$ - 范数与 $\ell_{\infty}$ - 范数之比被 $e^{\varepsilon}$ 所界定，所以对于足够小的常数 $\varepsilon$，考虑 $p = (\ln n)/\varepsilon$ 就足够了。对证明中 $C_1$ 的粗略值应用斯特林近似，可得 $C_1 = \Theta(\sqrt{p})$。这样一来，我们得到的下界为 $\Omega(n^{1 - 2/p}(\log n)/C_1^2) = \Omega(n)$。

而在另一个极端情况，当 $p \to 2$ 时，证明在 $p = 2 + \Theta(\log \log n / \log n)$ 范围内都能给出超常数下界。此时，$\epsilon$ 可以被设定为 $1 - 2/p - \Theta(\log \log n / \log n)$，而非严格小于 $1 - 2/p$ 的正常数。对于这个 $p$ 值，证明给出了一个 $polylog(n)$ 下界。不过，要获得 $p = 2 + o(1)$ 的紧下界仍是一个待解决的问题。

双枢轴快速排序的背景与现状

经典的快速排序算法是一种经过深入分析的排序方法，遵循分治范式。在处理包含 $n$ 个元素的输入时，它