33、数学模型求解的高效方法：Haar小波级数法与q - 同伦分析变换法

数学模型求解的高效方法：Haar小波级数法与q - 同伦分析变换法

1. Haar小波级数法基础

1.1 小波基础概念

1982年，法国地球物理工程师Jean Morlet首次引入了小波的概念。小波是通过对单个“母小波”函数 $\psi(t)$ 进行平移和伸缩生成的一族函数。
- 当伸缩因子 $a$ 和平移因子 $b$ 连续变化时，得到连续小波族：
$\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \psi(\frac{t - b}{a})$，其中 $a \neq 0$，$b \in R$。
- 若将 $a$ 和 $b$ 限制为离散值，即 $a = a_0^{-j}$，$b = kb_0a_0^{-j}$（其中 $a_0 \geq 1$，$b_0 \geq 0$，$j, k \in N$），则得到离散小波族：
$\psi_{j,k}(t) = \frac{1}{\sqrt{a_0^{-j}}} \psi(a_0^j t - kb_0)$，且 ${\psi_{j,k}(t)}_{j,k \in N}$ 构成 $L^2(R)$ 空间的小波基。特别地，当 $a_0 = 2$ 且 $b_0 = 1$ 时，可得到正交基。

1.2 Haar小波

在区间 $[\xi_1, \xi_2]$ 上构建Haar小波系统 ${h_i(t)} {i = 1}^{\infty}$ 需要两个基本函数：
- Haar尺度函数（父小波）：$h_1(t) = I {[\xi_1, \xi_2)}(t)$。
- 母小波：$h_2(t) = I_{[\xi_1, (\xi_1 + \xi_