11、多层感知器人工神经网络求解六阶两点边值问题

多层感知器人工神经网络求解六阶两点边值问题

1. 引言

边界值问题（BVPs）在科学和工程领域起着至关重要的作用，吸引了众多关注。例如，在天文学领域，当一大层流体在旋转作用下受热时会出现不稳定性，若将这种不稳定性视为普通对流，则可用六阶 BVPs 来表示。此外，围绕 A 型恒星的细长对流层也可通过六阶 BVPs 建模。许多作者也对六阶 BVPs 的数值特性进行了讨论。

以往对于六阶 BVPs 数值解的研究文献并不丰富。1986 年，Agrawal 提出了此类 BVPs 解的存在性和唯一性，但未探讨数值策略。此后，陆续有多种方法被提出用于求解六阶 BVPs，如 2001 年 Wazwaz 的修正分解法（MADM）、2003 年 Gamel 等人的 Sinc - Galerkin 技术等。

本文讨论了如下六阶 BVPs 的近似解：
[
w^{(6)}(r) = f (w,r),\quad 0 \leq r \leq 1
]
边界条件为：
[
w^{(i)}(0) = a \text{ 且 } w^{(i)}(1) = b,\quad i = 0, 1, 2
]
其中 (f (w,r)) 是给定的线性/非线性函数，(a) 和 (b) 是给定常数。

本文提出的多层感知器人工神经网络（MLP ANN）策略用于求解六阶两点 BVPs，具有以下吸引人的特点：
- 该方法得到的解为封闭解析形式，而其他方法如欧拉法、伽辽金法和有限差分法得到的解为离散形式。
- 此方法无需对非线性问题进行线性化处理。
- 对于不同的边界条件，该方法无需进行任何调整，采用统一的系统来求解具