范数的定义

定义

设 $E$ 是实（或复）线性空间，如果对于 $E$ 中的每个元素 $x$，都有一个实数，记为 $\Vert x\Vert$，与之对应，且满足：

1. $\Vert x\Vert ⩾0,\Vert x\Vert =0$ 的充分必要条件是 $x=\theta$
2. $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$，这里 $\alpha$ 是实（或复）数
3. $\Vert x+y\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ （设 $y\in E$）

则称 $E$ 为 实（或复）赋范线性空间，$\Vert x\Vert$ 称为元素 $x$ 的范数

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举例

在 $C[a,b]$ 上定义线性运算如下：

设 $x,y$ 均为 $C[a,b]$ 中的元素，$\alpha$ 为数，令

$$(x+y)(t)=x(t)+y(t)$$

$$(\alpha x)(t)=\alpha x(t)$$

则 $C[a,b]$ 按照上述线性运算是一个线性空间。再在 $C[a,b]$ 中令

$$\Vert x\Vert =\underset{a⩽t⩽b}{\max }|x(t)|(x\in C[a,b])$$

则 $\Vert \cdot \Vert$ 满足范数的全部条件，因此 $C[a,b]$ 按照上述定义的范数是一个赋范线性空间。

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2022年4月11日20:38:21