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化工过程计算与MATLAB应用
1. 传热相关参数与问题
在传热问题中，给定了一些关键参数：lout = 165 mm，折流板的缺口为25%，壁材料的热导率为45 W/m/K，管侧和壳侧的污垢热阻分别为0.00036 和 0.00018 m²K/W。同时，还给出了参考温度下的物性参数，如下表所示：
| | 管侧（水） | 管侧（水） | 壳侧（苯） | 壳侧（苯） |
| — | — | — | — | — |
| 参考温度 (K) | 323 | 283 | 375 | 289 |
| 密度 (kg/m³) | 988.1 | 999.7 | 798 | 885 |
| 粘度 (mNs/m²) | 0.6 | 1.26 | 0.258 | 0.679 |
| 热导率 (W/m/K) | 0.64 | 0.603 | 0.126 | 0.163 |
| 热容 (J/kg/K) | 4183 | 4195 | 1980 | 1675 |
需要解决的问题包括确定冷却水的出口温度、热负荷、苯的流量以及壳侧和管侧的压力降。
2. 过程控制中的MATLAB应用
2.1 拉普拉斯变换与传递函数
2.1.1 拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是将时域函数 $f(t)$ 转换为复频域函数 $F(s)$ 的一种数学方法，其定义为：
$F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$
逆拉普拉斯变换则是从给定的拉普拉斯变换 $F(s)$ 求出原函数 $f(t)$，表示为：
$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)]$
在MATLAB中，使用符号变量进行时域函数的拉普拉斯变换，内置函数
laplace
和
ilaplace
分别用于拉普拉斯变换和逆拉普拉斯变换。
示例 9.1：拉普拉斯变换
求 $f(t) = 1 + t + t^2 + \sin(at) - t\cos(bt)$ 的拉普拉斯变换。
>> syms t a b;
>> f = 1 + t + t^2 + sin(a*t) - t*cos(b*t);
>> Lf = laplace(f)
Lf =
a/(a^2 + s^2) + 1/(b^2 + s^2) - (2*s^2)/(b^2 + s^2)^2 + 1/s + 1/s^2 + 2/s^3
>> pretty(Lf)
2
a 1 2 s 1 1 2
------- + ------- - ---------- + - + -- + --
2 2 2 2 2 2 2 s 2 3
a + s b + s (b + s ) s s
示例 9.2：逆拉普拉斯变换
求 $F(s) = \frac{2s}{s^2 + 4s + 1}$ 的逆拉普拉斯变换。
>> syms s;
>> F = 2*s / (s^2 + 4*s + 1);
>> f = ilaplace(F)
f =
2*exp(-2*t)*(cosh(3^(1/2)*t) - (2*3^(1/2)*sinh(3^(1/2)*t))/3)
>> pretty(f)
/ 1/2 1/2 \
| 1/2 2 3 sinh(3 t) |
2 exp(-2 t) | cosh(3 t) - -------------------|
\ 3 /
2.1.2 部分分式展开
在MATLAB中，部分分式展开由内置函数
residue
完成。若函数 $F(s)$ 可展开为部分分式和重复因子的和，则可表示为：
$F(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0} = \frac{r_1}{s - p_1} + \frac{r_2}{s - p_2} + \cdots + \frac{r_k}{s - p_k} + K(s)$
使用
residue
函数进行部分分式展开的语法为：
[R P K] = residue(N, D)
其中，
R
包含部分分式的系数，
P
包含极点，
K
是包含 $K(s)$ 系数的行向量。
示例 9.3：部分分式展开
验证 $F(s) = \frac{s^3 + 5s^2 + 9s + 7}{s^2 + 3s + 2}$ 可展开为 $F(s) = -\frac{1}{s + 2} + \frac{2}{s + 1} + (s + 2)$。
>> N = [1 5 9 7]; D = [1 3 2];
>> [R P K] = residue(N, D)
R =
-1
2
P =
-2
-1
K =
1 2
2.1.3 传递函数的表示
在MATLAB中，拉普拉斯变换可以用传递函数的分子和分母的系数行向量表示，系数按降序排列。若分母已因式分解，可使用内置函数
conv
展开因子的乘积。
使用
tf
函数可得到拉普拉斯变换形式的传递函数，将
tf
的输出存储在变量中，便于使用其他MATLAB命令。
示例 9.4：传递函数的表示
用MATLAB显示 $G(s) = \frac{2s + 1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{2s + 1}{(s + 1)(s + 2)}$。
>> num = [2 1]; den = conv([1 1], [1 2]);
>> G = tf(num, den)
G =
2 s + 1
-------------
s^2 + 3 s + 2
Continuous-time transfer function
示例 9.5：使用
tf
函数
当分子为 $2s + 1$，分母为 $s^2 + 3s + 2$ 时，求传递函数 $G$。
>> num = [2 1]; den = [1 3 2];
>> G = tf(num, den)
G =
2 s + 1
-------------
s^2 + 3 s + 2
Continuous-time transfer function.
2.2 方框图
方框图由单向的运算块组成，这些块代表感兴趣变量的传递函数。化工过程的各个组件可以用方块表示，相互连接的方块清晰地显示了相邻过程组件之间的信息和信号流动。
MATLAB的内置函数
series
、
parallel
和
feedback
可用于合成方框图。
series
用于串联连接的方块，
parallel
用于并联连接的方块，
feedback
用于输出作为反馈信号的情况。
示例 9.6：整体传递函数
求图9.2所示简单反馈回路的整体传递函数，其中 $G = \frac{2s + 1}{s^2 + 3s + 2}$，$H = \frac{1}{s + 1}$。
>> ng = [2 1]; dg = [1 3 2]; nh = 1; dh = [1 1];
>> [nt, dt] = feedback(ng, dg, nh, dh, -1);
>> Gcl = tf(nt, dt)
Gcl =
2 s^2 + 3 s + 1
---------------------
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 3
Continuous-time transfer function.
在使用
feedback
函数时，用
-1
表示负反馈，
+1
表示正反馈。
2.3 状态空间表示
一组微分方程可以写成标准的向量 - 矩阵形式：
$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$
$y(t) = Cx(t) + Du(t)$
其中，$x$ 是状态变量向量，$u$ 是输入向量，$y$ 是输出向量，$\dot{x}$ 表示时间导数。$A$ 是过程矩阵，$B$ 是输入矩阵，$C$ 是输出矩阵，$D$ 是前馈矩阵。
解矩阵 $\Phi(s)$ 定义为：
$\Phi(s) = (sI - A)^{-1}$
这给出了时域表示 $\Phi(t) = e^{At}$，状态变量 $x(t)$ 可表示为：
$x(t) = \Phi(t) x(0) + \int_{0}^{t} \Phi(t - \tau) B u(\tau) d\tau = e^{At} x(0) + \int_{0}^{t} e^{A(t - \tau)} B u(\tau) d\tau$
状态空间模型的拉普拉斯变换得到：
$Y(s) = CX(s) = C\Phi(s) B U(s) = G(s) U(s)$
其中，$G(s) = C\Phi(s) B = C(sI - A)^{-1} B$ 是传递函数矩阵。
在MATLAB中，一旦知道矩阵 $A$、$B$ 和 $C$，可以通过定义这三个矩阵并使用
ss
命令轻松输入状态空间模型。
tf2ss
命令用于从给定的传递函数模型创建状态空间模型，
ss2tf
命令用于从给定的状态空间模型生成传递函数模型。
示例 9.7：从传递函数到状态空间模型
求传递函数为 $G(s) = \frac{2s + 1}{s^3 + 3s^2 + 2s + 1}$ 的过程的状态空间模型。
>> n = [2 1]; d = [1 3 2 1];
>> [A B C D] = tf2ss(n,d)
A =
-3 -2 -1
1 0 0
0 1 0
B =
1
0
0
C =
0 2 1
D =
0
示例 9.8：状态空间表示
求系统 $\frac{d^2y}{dt^2} + 1.5\frac{dy}{dt} + y = \frac{du}{dt} + 2u$，$y(0) = 0$，$\frac{dy}{dt}(0) = 0$，$u(0) = 0$ 的状态空间表示。
>> [A B C D] = tf2ss([1 2],[1 1.5 1])
A =
-1.5000 -1.0000
1.0000 0
B =
1
0
C =
1 2
D =
0
2.4 过程动态
2.4.1 一阶过程的动态
一阶过程由一阶微分方程表示：
$\tau \frac{dy}{dt} + y = Kx(t)$
其中，$y$ 是输出，$x$ 是输入，$\tau$ 是过程的时间常数，$K$ 是过程的增益。
假设初始条件为 $y(0) = 0$，该模型的拉普拉斯变换为：
$\frac{Y(s)}{X(s)} = G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$
不同输入下的响应如下：
-
阶跃输入
：幅度为 $A$ 的阶跃输入，时域响应为 $Y(t) = KA(1 - e^{-t/\tau})$
-
脉冲输入
：幅度为 $H$、持续时间为 $T$ 的脉冲输入，输出 $Y(s) = \frac{KH}{\tau s + 1}(1 - e^{-Ts})$，时域响应为 $Y(t) = KH\left[(1 - e^{-t/\tau}) - (1 - e^{-(t - T)/\tau})u(t - T)\right]$
-
斜坡输入
：斜率为 $A$ 的斜坡输入，拉普拉斯变换为 $X(s) = \frac{A}{s^2}$，输出 $Y(s) = \frac{KA}{s^2(\tau s + 1)} = \frac{KA}{\tau s^2} - \frac{KA}{\tau^2 s} + \frac{KA}{\tau^2(\tau s + 1)}$，时域响应为 $Y(t) = KA(t - \tau + \tau e^{-t/\tau})$
-
正弦输入
：幅度为 $A$、频率为 $\omega$ 的正弦输入，$X(t) = A\sin(\omega t)u(t)$，拉普拉斯变换为 $X(s) = \frac{A\omega}{s^2 + \omega^2}$，输出 $Y(s) = \frac{KA\omega}{(\tau s + 1)(s^2 + \omega^2)}$，时域响应为 $Y(t) = \frac{KA}{\sqrt{1 + \tau^2\omega^2}} \sin(\omega t + \varphi) + \frac{KA}{\tau^2\omega^2 + 1} e^{-t/\tau}$，其中 $\varphi = \tan^{-1}(-\tau\omega)$。
在MATLAB中，内置函数
step
用于计算一阶过程的阶跃响应，
impulse
用于计算脉冲响应，
lsim
用于计算线性输入的响应，也可用于计算正弦输入的响应。
示例 9.9：一阶过程的阶跃响应
绘制传递函数为 $\frac{3}{2s + 1}$ 的一阶过程在时间区间 $[0, 10]$ 内的单位阶跃响应。
% step1.m
num = 3; den = [2 1]; t = [0:0.1:10];
y = step(num, den, t);
plot(t, y), grid, title('Step response of a 1st-order process')
xlabel('t(sec)'), ylabel('Response y(t)')
也可以使用Simulink进行仿真，步骤如下：
1. 点击MATLAB菜单栏中的 “New” 图标，选择 “Simulink Model”。
2. 出现新的模型窗口，在新编辑器窗口的菜单栏中，选择 “Library Browser” 图标。
3. 从 “Simulink” 子菜单的 “Sources” 库中选择并放置 “Step” 块到新窗口。
4. 从 “Continuous” 库中选择并放置 “Transfer Fcn”（传递函数）块，从 “Sinks” 库中选择并放置 “Scope” 块到新窗口。
5. 构建一阶过程的Simulink方框图，通过点击一个块，将鼠标定位到要连接的块上，按住 “Ctrl” 键并点击鼠标左键来连接块。
6. 双击 “Transfer Fcn” 块，在出现的编辑器窗口中指定传递函数的分子和分母。
7. 双击 “Step” 块，在编辑器窗口中将 “Step time” 设置为 0，选择 “Apply” 按钮，然后按 “OK” 按钮。
8. 在模型编辑器窗口的 “Simulation” 菜单中，选择 “Model Configuration Parameters”，将计算时间设置为 10(sec)，并在 “Simulation” 菜单中选择 “Run”。
9. 双击 “Scope” 块查看响应曲线。
示例 9.10：一阶过程的正弦响应
绘制传递函数为 $\frac{3}{2s + 1}$ 的一阶系统对正弦输入 $u = \sin(3t)$ 在时间区间 $[0, 10]$ 内的响应曲线。
% sin1st.m: sinusoidal response of the 1st-order process
num = 3; den = [2 1]; G = tf(num,den);
t = [0:0.1:10]; u = sin(3*t); z = t*0; y = lsim(G,u,t);
plot(t,y,t,u,':'), legend('Output y(t)','Input u(t)'), hold on
plot(t,z), hold off
xlabel('t(sec)'), ylabel('Response y(t)')
title('Sinusoidal response of 1st-order process')
通过以上内容，我们可以看到MATLAB在化工过程控制中的强大应用，从基本的数学变换到复杂的系统建模和仿真，都能提供有效的解决方案。无论是学术研究还是工业应用，MATLAB都为化工工程师提供了一个便捷、高效的工具。希望这些示例和方法能帮助读者更好地理解和应用化工过程控制中的相关知识。
3. 总结与应用示例流程梳理
3.1 关键知识点总结
| 知识点 | 描述 | MATLAB 函数 |
|---|---|---|
| 拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换 | 将时域函数转换为复频域函数及反向转换 |
laplace
、
ilaplace
|
| 部分分式展开 | 将复杂分式展开为简单分式之和 |
residue
|
| 传递函数表示 | 用分子分母系数行向量表示拉普拉斯变换 |
tf
、
conv
|
| 方框图合成 | 处理串联、并联和反馈连接的方块 |
series
、
parallel
、
feedback
|
| 状态空间表示 | 将微分方程写成向量 - 矩阵形式 |
ss
、
tf2ss
、
ss2tf
|
| 一阶过程动态响应 | 计算不同输入下的响应 |
step
、
impulse
、
lsim
|
3.2 应用示例流程梳理
以下是使用 MATLAB 解决化工过程控制问题的通用流程 mermaid 图：
graph LR
A[问题定义] --> B[建立数学模型]
B --> C[选择合适的 MATLAB 函数]
C --> D[编写 MATLAB 代码]
D --> E[运行代码并分析结果]
E --> F{结果是否满足要求}
F -- 是 --> G[应用结果]
F -- 否 --> B
3.3 具体操作步骤总结
3.3.1 拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换操作步骤
-
创建符号变量，使用
syms函数。 - 定义时域函数或拉普拉斯变换函数。
-
使用
laplace进行拉普拉斯变换，使用ilaplace进行逆拉普拉斯变换。
3.3.2 部分分式展开操作步骤
- 定义分子和分母的系数向量。
-
使用
residue函数进行部分分式展开。
3.3.3 传递函数表示操作步骤
- 确定传递函数的分子和分母系数。
-
若分母因式分解，使用
conv展开。 -
使用
tf函数得到传递函数。
3.3.4 方框图合成操作步骤
- 确定各个方块的传递函数。
-
根据连接方式选择
series、parallel或feedback函数。 - 得到整体传递函数。
3.3.5 状态空间表示操作步骤
- 确定过程矩阵 $A$、输入矩阵 $B$、输出矩阵 $C$ 和前馈矩阵 $D$。
-
使用
ss命令输入状态空间模型。 -
可使用
tf2ss和ss2tf进行模型转换。
3.3.6 一阶过程动态响应操作步骤
- 确定传递函数的分子和分母系数。
-
根据输入类型选择
step、impulse或lsim函数。 - 绘制响应曲线。
3.4 综合应用示例
假设我们要分析一个复杂的化工过程控制系统，该系统包含多个一阶过程串联和反馈回路。以下是解决该问题的步骤：
1.
问题定义
：确定系统的输入、输出和控制目标。
2.
建立数学模型
：将每个一阶过程用传递函数表示，根据连接方式构建整体传递函数。
3.
选择合适的 MATLAB 函数
：使用
conv
处理串联，
feedback
处理反馈回路，
step
分析阶跃响应。
4.
编写 MATLAB 代码
：
% 定义一阶过程传递函数
num1 = [3]; den1 = [2 1];
num2 = [4]; den2 = [3 1];
% 串联两个一阶过程
den_series = conv(den1, den2);
num_series = conv(num1, num2);
% 定义反馈传递函数
num_feedback = [1]; den_feedback = [1 1];
% 构建反馈回路
[nt, dt] = feedback(num_series, den_series, num_feedback, den_feedback, -1);
% 计算阶跃响应
t = [0:0.1:10];
y = step(nt, dt, t);
% 绘制响应曲线
plot(t, y), grid, title('Step response of the complex system')
xlabel('t(sec)'), ylabel('Response y(t)')
- 运行代码并分析结果 ：观察阶跃响应曲线，判断系统的稳定性和性能。
- 结果评估 ：如果结果不满足要求，调整模型参数或控制策略，重复上述步骤。
通过以上内容，我们全面介绍了化工过程控制中使用 MATLAB 的相关知识和方法，包括基本的数学变换、系统建模和动态响应分析。通过具体的示例和详细的操作步骤，希望能帮助读者更好地掌握和应用这些技术，解决实际的化工过程控制问题。在实际应用中，读者可以根据具体需求灵活运用这些方法，不断优化系统性能。
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