9、李代数、李群与关联代数中的线性变换与几何表示

李代数、李群与关联代数中的线性变换与几何表示

1. 自旋表示与稳定性群

$R$ 是乘积群 $SO(n) ⊗SO(n)$ 的自旋表示。由于它由 $E_n$ 的不变性（由特定方程确定）所决定，$R$ 被称为 $E_n$ 的稳定性群。这里，对其进行表征时，无需直接参考二次型。

为了说明，我们将 $Q$ 与特定方程中的互补二向量 $K$ 等同起来，且由相关方程可知 $K^2 = 1$。我们选择一个正交归一基，将分量叶片 $K_i$ 分解为正交因子。利用相关方程，可直接得到 $K$ 的稳定性群的生成基。$K$ 的稳定性群可被识别为一般线性群 $GL(n, R)$。

每个正的、非奇异的线性变换都可以用自旋形式表示：
[
R = e^B = e^{\frac{1}{2}\sum_{i< j} \alpha_{ij} E_{ij}+\sum_{i< j} \beta_{ij} F_{ij}+\sum_{i< j} \gamma_{ij} K_{ij}}
]
[
= e^{\frac{1}{2}\sum_{i< j} \alpha_{ij} E_{ij}}e^{\frac{1}{2}\sum_{i< j} \beta_{ij} F_{ij}}e^{\frac{1}{2}\sum_{i< j} \gamma_{ij} K_{ij}}
]

这种表示是线性变换组合的有效表示，用自旋表示计算复合旋转比使用标准基于矩阵的方法更高效，因为矩阵系数存在冗余。例如，一个 3D 旋转矩阵有九个实系数，而一个转子只需 4 个。此外，自旋表示应用于几何实体时，能清晰地传达操作的几何解释。不过，对于旋转，指