8、互反零锥的几何代数与一般线性群的自旋群表示

互反零锥的几何代数与一般线性群的自旋群表示

1. 通用几何代数 (G_{n,n})

互反零锥 (N) 和 (\overline{N}) 的向量基分别生成了 (2n) 维子代数 (G_N = \text{gen}{w_1, \ldots, w_n}) 和 (2n) 维互反子代数 (G_{\overline{N}} = \text{gen}{\overline{w} 1, \ldots, \overline{w}_n})，它们具有格拉斯曼代数的结构。几何代数 (G {n,n}) 由这些 (2n) 维格拉斯曼子代数的直积构建而成：
[G_{n,n} = G_N \otimes G_{\overline{N}} = \text{gen}{w_1, \ldots, w_n, \overline{w} 1, \ldots, \overline{w}_n}]
当 (n) 为可数无穷时，(G {\infty,\infty}) 被称为通用几何代数，它包含所有的 (G_{n,n}) 作为子代数。

互反基 ({w} \in N) 和 ({\overline{w}} \in \overline{N}) 也被称为对偶基，因为它们满足 ({w} \cdot {\overline{w}} = \text{id})。它们生成了 (G_{n,n}) 的 (k) - 向量基：
[{1, {w}, {\overline{w}}, {w_iw_j}, {\overline{w} i\overline{w}_j}, {w_i\overline{w}_j}, \ldots, {w {j_1} \ldots \overline{w} {j_