4、几何代数：从基础到应用

几何代数：从基础到应用

1. 几何代数在实际中的应用成果

在三维物体形状确定方面，有一个算法展现出了出色的效果。例如在脑部肿瘤切片的分割工作中，通过该算法能够得到很好的结果。在这个过程里，会有一个包含肿瘤切片标记区域的患者头部三维模型，经过训练后，最终能得到一个由 170 个旋量（与 170 个神经单元相关联）构成的最终形状。

2. 几何代数的历史发展

几何代数的发展源远流长，其相关概念可以追溯到公元前 300 年欧几里得的综合几何。此后，众多代数体系都为几何代数的成熟框架做出了贡献，具体如下：
|代数体系|提出时间|主要贡献者|
| ---- | ---- | ---- |
|解析几何|1637 年|笛卡尔|
|复数代数|1798 年|韦塞尔和高斯|
|哈密顿代数|1843 年|哈密顿|
|矩阵代数|1854 年|凯莱|
|外代数|1844 年|格拉斯曼|
|克利福德代数|1878 年|克利福德|
|张量代数|1890 年|里奇|
|微分形式|1923 年|嘉当|
|自旋代数|1928 年|泡利和狄拉克|

几何代数提供了多向量概念用于表示，以及几何积用于多向量计算，这使得在不同维度和度量的领域中能够进行灵活的高阶表示和计算。像复数、四元数和对偶四元数都能在转子和电机二向量代数中表示，双数或双曲数也能在正特征的几何代数中找到。在切空间的局部分析中，利用李代数和李理论能成功完成需要微分运算来增强不变量几何对称性的工作，而且由于李代数与二向量代数同构，这些微分运算能在微分几何的复杂计算中发挥优势，比如在识别高阶对称性方面。

3. 共形几何代数的