20、神经网络与傅里叶分析在金融市场的应用

神经网络与傅里叶分析在金融市场的应用

1. 神经网络基础

在神经网络模型中，有如下关键公式：
- (T_k = \beta_{0k} + \beta_{k}^T Z)，其中 (k = 1, \ldots, K)，(Z = (Z_1, \ldots, Z_M)) 和 (T = (T_1, \ldots, T_K))。
- (f_k(X) = g_k(T))，(k = 1, \ldots, K)。

激活函数 (\sigma(v)) 通常选用 sigmoid 或 logistic 函数 (\sigma(v) = \frac{1}{1 + e^{-v}})，也可以是双曲正切函数、修正线性单元函数等。对于回归问题，输出函数 (g_k(T)) 常选择恒等函数 (g_k(T) = T_k)。若激活函数 (\sigma) 为恒等函数，神经网络模型就退化为输入的线性模型。

在拟合神经网络模型时，要寻找使模型能很好拟合训练数据的权重值。设 (\theta) 表示完整的权重集，包含 (M(p + 1)) 个权重 (\alpha_{0m}, \alpha_m)（(m = 1, \ldots, M)）和 (K(M + 1)) 个权重 (\beta_{0k}, \beta_k)（(k = 1, \ldots, K)）。
- 对于回归问题，误差函数为 (R(\theta) = \sum_{k = 1}^{K} \sum_{i = 1}^{N} (y_{ik} - f_k(x_i))^2)。
- 对于分类问题，误差函数可以是交叉熵或平方误差函数 (R(\theta) = - \sum_{k = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{K} y_{ik} \log f_k