3、矩阵代数、随机向量与多元分析基础

矩阵代数、随机向量与多元分析基础

1. 矩阵代数中的特殊矩阵定义

1.1 半正定矩阵

若对于任意向量 $u \in \mathbb{R}^n$，都有 $u^TAu \geq 0$，则矩阵 $A$ 被称为半正定矩阵（或非负定矩阵）。

1.2 负定矩阵

对于一个 $n \times n$ 的方阵 $A$，若对于任意非零向量 $u \in \mathbb{R}^n$，都有 $u^TAu < 0$，则矩阵 $A$ 被称为负定矩阵。例如，对于矩阵 $A = \begin{bmatrix}-2 & 1 \ 1 & -2\end{bmatrix}$，通过计算 $u^TAu = \begin{bmatrix}u_1, u_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2 & 1 \ 1 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1 \ u_2\end{bmatrix} = -2u_1^2 + 2u_1u_2 - 2u_2^2 = -(u_1 - u_2)^2 < 0$（当 $[u_1, u_2] \neq [0, 0]$ 时），可以证明该矩阵是负定矩阵。

1.3 负半定矩阵

若对于任意向量 $u \in \mathbb{R}^n$，都有 $u^TAu \leq 0$，则矩阵 $A$ 被称为负半定矩阵。

1.4 2×2 对称矩阵的判定定理

对于一个 2×2 的对称矩阵 $A = \begin{bmatrix}a & b \ c & d\end{bmatrix}$：
- 当