【多元统计分析】01. 多元统计分析基础_多元联合分布函数怎么解-优快云博客

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本文介绍了多元统计分析的基础概念，包括随机向量的分布、数字特征及其性质，如联合分布函数、联合密度函数、边际密度函数、条件密度函数以及随机向量的均值向量、协方差阵和相关系数矩阵。同时，讨论了矩阵代数中的正交矩阵和矩阵的迹，包括正交矩阵的性质和矩阵迹的运算性质。

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文章目录

Chapter 1：多元统计分析基础

Chapter 1：多元统计分析基础

一、随机向量

Part 1：随机向量的分布

联合分布函数：设 $X=\left(X_1,X_2,\cdots,X_p\right)'$ 是一个 $p$ 维随机向量，定义 $p$ 元函数
$F(x_1,x_2,\cdots,x_p)=P\left(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,\cdots,X_p\leq x_p\right) \ ,$
称 $F(x_1,x_2,\cdots,x_p)$ 为 $X$ 的联合分布函数。

联合密度函数：如果存在一个 $p$ 元非负函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_p)$ ，使得对一切 $(x_1,x_2,\cdots,x_p)$ 都有
$F(x_1,x_2,\cdots,x_p)=\int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_2}\cdots \int_{-\infty}^{x_p}f(x_1,x_2,\cdots,x_p){\rm d}x_1{\rm d}x_2\cdots{\rm d}x_p \ ,$
则称 $f(x_1,x_2,\cdots,x_p)$ 为 $X$ 的联合密度函数。

边际密度函数：设 $X^{(1)}$ 为 $r$ 维随机向量， $X^{(2)}$ 为 $p - r$ 为随机向量，且 $X^{(1)}$ 和 $X^{(2)}$ 都是随机向量 $X$ 的部分分量，满足
$X=\left[\begin{array}{c} X^{(1)} \\ X^{(2)} \end{array}\right] \ ,$
定义 $X^{(1)}$ 的边际密度函数为
$f_1(x^{(1)})=f_1(x_1,x_2,\cdots,x_r)=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2,\cdots,x_p){\rm d}x_{r+1}{\rm d}x_{r+2}\cdots{\rm d}x_p \ ,$
定义 $X^{(2)}$ 的边际密度函数为
$f_2(x^{(2)})=f_2(x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_p)=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2,\cdots,x_p){\rm d}x_{1}{\rm d}x_{2}\cdots{\rm d}x_r \ .$
条件密度函数：当 $X$ 的密度函数可以写为 $f(x^{(1)},x^{(2)})$ 时，定义给定 $X^{(2)}$ 时 $X^{(1)}$ 的条件密度函数为
$f_1(x^{(1)}|x^{(2)})=\frac{f(x^{(1)},x^{(2)})}{f_2(x^{(2)})} \ .$
分量的独立性：设 $X_1,X_2,\cdots,X_p$ 是 $p$ 个随机变量，则 $X_1,X_2,\cdots,X_p$ 相互独立当且仅当
$F(x_1,x_2,\cdots,x_p)=F_1(x_1)F_2(x_2)\cdots F_p(x_p) \ .$
若 $X=\left(X_1,X_2,\cdots,X_p\right)'$ 的联合密度函数及其各个分量的密度函数均存在，则 $X_1,X_2,\cdots,X_p$ 相互独立当且仅当
$f(x_1,x_2,\cdots,x_p)=f_1(x_1)f_2(x_2)\cdots f_p(x_p) \ .$

Part 2：随机向量的数字特征

随机向量的均值向量：设 $X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)'$ 是一个 $p$ 维随机向量，如果对 $X$ 的任何分量 $X_i$ 都有均值 ${\rm E}(X_i)=\mu_i$ 存在，则定义随机向量 $X$ 的均值向量为
${\rm E}(X)=\left[\begin{array}{c} {\rm E}(X_1) \\ {\rm E}(X_2) \\ \vdots \\ {\rm E}(X_p) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mu_1 \\\mu_2 \\ \vdots \\ \mu_p\end{array}\right] \ .$
随机向量的协方差阵：设 $X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)'$ 是一个 $p$ 维随机向量，如果对 $X$ 的任何两个分量 $X_i$ 和 $X_j$ 都有协方差 ${\rm Cov}(X_i,X_j)=\sigma_{ij}$ 存在，则定义随机向量 $X$ 的协方差阵为
$\begin{aligned} {\rm Var}(X)&={\rm E}\left[(X-{\rm E}(X))(X-{\rm E}(X))'\right] \\ \\ &=\left[\begin{array}{cccc} {\rm Cov}(X_1,X_1) & {\rm Cov}(X_1,X_2) & \cdots & {\rm Cov}(X_1,X_p) \\ {\rm Cov}(X_2,X_1) & {\rm Cov}(X_2,X_2) & \cdots & {\rm Cov}(X_2,X_p) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\rm Cov}(X_p,X_1) & {\rm Cov}(X_p,X_2) & \cdots & {\rm Cov}(X_p,X_p)\\ \end{array}\right] \ . \\ \\ &=\left(\sigma_{ij}\right)_{p\times p}\xlongequal{def}\Sigma \ . \end{aligned}$