4、理想化模型中虚拟黑盒混淆的不可能性

理想化模型中虚拟黑盒混淆的不可能性

1. 虚拟黑盒混淆

在理想化模型中，我们对近似正确的虚拟黑盒（VBB）混淆给出了直接的形式化定义。在不访问预言机的普通模型中，标准的 VBB 定义等同于 0 - 近似 VBB。

定义 4（理想化模型中的近似 VBB） ：对于函数 $\epsilon(n) \in [0, 1]$，如果一个概率多项式时间（PPT）算法 $O$ 满足以下条件，则称其为 $I$ - 理想模型中的 $\epsilon$ - 近似通用 VBB 混淆器：
- 近似功能性 ：对于任何规模为 $n$ 且输入规模为 $m$ 的电路 $C$，有 $\Pr_{x\leftarrow{0,1}^m}[O^I(C)(x) \neq C(x)] \leq \epsilon(n)$，其中概率是关于输入 $x$ 的选择、预言机 $I$ 以及 $O$ 的内部随机性。
- 虚拟黑盒 ：对于每个 PPT 敌手 $A$，存在一个 PPT 模拟器 $S$ 和一个可忽略函数 $\sigma(n)$，使得对于所有 $n \in \mathbb{N}$ 和电路 $C \in {0, 1}^n$，有 $\left|\Pr[A^I(O^I(C)) = 1] - \Pr[S^C(1^n) = 1]\right| \leq \sigma(n)$，其中概率是关于 $I$ 以及 $A$、$S$ 和 $O$ 的随机性。

引理 5（VBB 安全性的保持） ：设 $O$ 是 $I$ - 理想模型中满足 VBB 安全性的 PPT 算法，$U$ 是 $I$ -