16、小波变换中的关键概念：有界L2滤波器、Riesz基与双正交性

小波变换中的关键概念：有界L2滤波器、Riesz基与双正交性

1. 有界L2滤波器

1.1 基本定义与性质

对于L2信号，根据Parseval关系有：
[y(t) = \int x(\tau)h(t - \tau)d\tau = \frac{1}{2\pi}\int X(\omega)H(\omega)e^{i\omega t}d\omega]
若(\vert H(\omega)\vert \leq B)，则(\vert X(\omega)H(\omega)\vert^2 \leq B^2\vert X(\omega)\vert^2)。由于(\vert X(\omega)\vert^2)可积，所以(\vert X(\omega)H(\omega)\vert^2)也可积，即(X(\omega)H(\omega) \in L^2)，进而(y(t) \in L^2)，且(Y(\omega) = H(\omega)X(\omega))。

当(h(t) \in L^2)且(H(\omega))有界时，称(h(t))为有界L2滤波器。有界L2滤波器具有以下优点：
- 卷积定理适用性 ：有界L2滤波器满足卷积定理，而任意L2滤波器不一定满足。
- 级联稳定性 ：两个有界L2滤波器(h_1(t))和(h_2(t))级联后的滤波器(h(t) = (h_1 * h_2)(t))仍是有界L2滤波器。因为(h(t) \in L^2)，且(H(\omega) = H_1(\omega)H_2(\omega))仍有界。

1.2 相关定理