33、时频分析与小波变换：原理、特性及应用

时频分析与小波变换：原理、特性及应用

1. 短时傅里叶变换（STFT）基础

在信号处理领域，短时傅里叶变换（STFT）是一种重要的时频分析工具。当以速率 $\omega_s = 2\pi$ 对信号的傅里叶变换（FT）进行采样时，我们能够从这些样本中恢复 $x(t)v(t)$，这类似于有限时长波形 $x(t)v(t)$ 的傅里叶级数。通过将窗口按连续整数进行移位（即 $T_s = 1$），我们可以在频域中以样本间距 $\omega_s = 2\pi$ 从 STFT 中恢复 $x(t)$ 的连续片段。

选择 $T_s = 1$ 和 $\omega_s = 2\pi$（即 $\omega_sT_s = 2\pi$）可以得到一个 STFT $X_{STFT}(k\omega_s, nT_s)$，从这个变换中我们能够重构出所有时刻的 $x(t)$。此时，函数 $g_{kn}(t)$ 可表示为：
$g_{kn}(t) = v(t - n)e^{jk\omega_st} = v(t - n)e^{j2\pi kt}$

由于窗口的连续移位不重叠，对于不同的 $n$ 值，函数 $g_{kn}(t)$ 是正交归一的；对于不同的 $k$ 值，这些函数同样正交归一。综上所述，图 6.31 中的矩形窗口，在时频采样时长 $T_s = 1$ 和 $\omega_s = 2\pi$ 的条件下，为 $L^2$ 函数生成了一个正交归一的 STFT 基。

这个例子让人联想到奈奎斯特采样定理，因为我们可以从（时频）样本中重构 $x(t)$，但不同的是，$x(t)$ 是一个 $L^2$ 信号，不一定是带限的。需要注意的是，$T_s$ 和 $\omega_s$ 不能随意互换（即使保持 $\o