24、小波变换与滤波器组：原理、构造与应用

小波变换与滤波器组：原理、构造与应用

1. 小波变换相关练习

1.1 时间 - 频率窗口大小证明

对于衰减足够快的小波函数 $\psi(t)$，当 $t \to \pm\infty$ 时，要证明 $\psi_{b,a}$ 的时间 - 频率窗口大小与 $a$ 和 $b$ 无关，即 $\Delta\psi_{b,a}\Delta\hat{\psi}_{b,a} = \Delta\psi\Delta\hat{\psi}$，其中 $\hat{\psi}$ 是 $\psi$ 的傅里叶变换。

1.2 单频信号的小波变换计算

• 定义单频信号 $f_{\omega_0}(t) = b_0 \sin \omega_0t$，其中 $b_0 \neq 0$。
• 对于小波 $\psi_{\epsilon}(t) = h_{1 + \epsilon}(t) - h_{1 - \epsilon}(t)$，其中 $h_{\eta}(t) = \frac{\sin \eta t}{\pi t}$，按照示例 1 的方法计算 $(W_{\psi_{\epsilon}} f_{\omega_0})(b, a)$。
• 以小波 $\psi(t) = h_d(t) - h_1(t)$ 计算 $(W_{\psi} f_{\omega_0})(b, a)$，并对 $f(t) = \sum_{k = 1}^{n} b_k \sin kt$ 计算 $(W_{\psi} f)(b, a)$。

1.3 定理证明细节补充

需要补充定理 1、定理 2 和定理 3 证明中的计算细节。

2. 多分辨率逼近与分析

2.1 理想低通滤波器与信号恢复

在信号和图像处理等大多数应用中，通常只关注带限函数。设 $\hat{\varphi}(\omega) = \chi_{[-\pi, \pi]}(\omega)$ 为理想低通滤波器，对于任何带限函数 $f(x)$，存在足够大的正整数 $J$，使得 $\hat{f}(\omega)$ 在区间 $[-2^J\pi, 2^J\pi]$ 之外为零。此时，理想低通滤波器 $\hat{\varphi}(2^{-J}\omega)$ 成为所有函数（包括 $f(x)$）的全通滤波器，带宽 $\leq 2^{J + 1}\pi$，即 $\hat{f}(\omega)\hat{\varphi}(2^{-J}\omega) = \hat{f}(\omega)$，等价于 $(f * \varphi_J)(x) = f(x)$，其中 $\varphi_J(x) = 2^J\varphi(2^J x)$，且 $\varphi(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ 是 $\hat{\varphi}(\omega)$ 的逆傅里叶变换。

根据采样定理，带宽不超过 $2^{J + 1}\pi$ 的函数 $f(x)$ 可以从其离散样本 $f(\frac{k}{2^J})$，$k \in \mathbb{Z}$ 中恢复，公式为：
[f(x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} f(\frac{k}{2^J}) \frac{\sin \pi(2^J x - k)}{\pi(2^J x - k)} = \sum_{k = -\infty}^{\infty} c_J^k \varphi(2^J x - k)]
其中 $c_J^k = f(\frac{k}{2^J})$。

2.2 二尺度关系与细化方程

由于函数 $f(x) = \varphi(2^{J - 1}x)$ 的带宽为 $2^J\pi$，由上述公式可得：
[\varphi(2^{J - 1}x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} c_J^k \varphi(2^J x - k)]
其中 $c_J^k = \varphi(\frac{2^{J - 1}k}{2^J}) = \varphi(\frac{k}{2}) = \frac{\sin(\pi k / 2)}{k\pi / 2}$，与 $J$ 无关。引入序列 ${p_k}$，定义为：
[p_k = \frac{\sin(\pi k / 2)}{\pi k / 2} =
\begin{cases}
\delta_j, & \text{for } k = 2j \
\frac{(-1)^j 2}{(2j + 1)\pi}, & \text{for } k = 2j + 1
\end{cases}]
将 $2^{J - 1}x$ 替换为 $x$，得到二尺度关系或细化方程：
[\varphi(x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} p_k \varphi(2x - k)]
序列 ${p_k}$ 称为 $\varphi(x)$ 的二尺度序列或细化掩码。

2.3 向量空间的嵌套序列

对于每个 $j \in \mathbb{Z}$，定义 $V_j = \text{closure} {L^2} \text{span} {2^j\varphi(2^j x - k) : k \in \mathbb{Z}}$。由二尺度关系可知，向量空间族 ${V_j}$ 是一个嵌套序列：
[\cdots \subset V {-1} \subset V_0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \cdots]
生成函数 $2^j\varphi(2^j x)$ 的傅里叶变换恰好是理想低通滤波器 $\hat{\varphi}(\frac{\omega}{2^j}) = \chi_{[-2^j\pi, 2^j\pi]}(\omega)$，通带为 $[-2^j\pi, 2^j\pi]$。因此，$\hat{\varphi}(\frac{\omega}{2^j}) - \hat{\varphi}(\frac{\omega}{2^{j - 1}})$ 是通带为 $[-2^j\pi, -2^{j - 1}\pi] \cup [2^{j - 1}\pi, 2^j\pi]$ 的理想带通滤波器。

2.4 信号分离与小波定义

为了将带宽 $\leq 2^{J + 1}\pi$ 的函数 $f_J(x)$ 分离为非重叠（理想）频带上的分量：
[f_J(x) = f_0(x) + g_0(x) + \cdots + g_{J - 1}(x)]
其中 $\hat{f} 0(\omega) = \hat{f}_J(\omega)\chi {[-\pi, \pi]}(\omega)$，$\hat{g} 0(\omega) = \hat{f}_J(\omega)\chi {[-2\pi, -\pi) \cup (\pi, 2\pi]}(\omega)$，$\cdots$，$\hat{g} {J - 1}(\omega) = \hat{f}_J(\omega)\chi {[-2^J\pi, -2^{J - 1}\pi) \cup (2^{J - 1}\pi, 2^J\pi]}(\omega)$，需要找到一个理想带通滤波器 $\psi_I(x)$，其傅里叶变换为 $\hat{\psi} I(\omega) = \chi {[-2\pi, -\pi) \cup (\pi, 2\pi]}(\omega) = \hat{\varphi}(\frac{\omega}{2}) - \hat{\varphi}(\omega)$。

为了便于计算等原因，引入 $\psi_I(x)$ 的相移来定义“小波”：
[\psi(x) = -2\varphi(2x - 1) + \varphi(\frac{x - 1}{2})]
其傅里叶变换为 $\hat{\psi}(\omega) = -e^{-i\frac{\omega}{2}}(\hat{\varphi}(\frac{\omega}{2}) - \hat{\varphi}(\omega))$。通过比较可知，$|\hat{\psi}(\omega)| = |\hat{\psi}_I(\omega)|$，因此 $f_J(x)$ 在理想频带上的分量分离仍然有效，只是 $g_j(x)$ 有一个相移 $-(\pi + \omega / 2^j)$，$j = 0, \cdots, J - 1$。

2.5 小波的二尺度关系

可以证明 $\psi(x)$ 满足二尺度关系：
[\psi(x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} q_k \varphi(2x - k)]
其中 $q_k = (-1)^k p_{1 - k}$，$k \in \mathbb{Z}$。

2.6 多分辨率逼近的定义

多分辨率逼近（MRA）是 $L^2(\mathbb{R})$ 中闭子空间 $V_j$ 的嵌套序列 ${V_j}$，$j \in \mathbb{Z}$，满足以下条件：
1. $V_j \subset V_{j + 1}$，$j \in \mathbb{Z}$；
2. $\bigcap_{j \in \mathbb{Z}} V_j = {0}$；
3. $\bigcup_{j \in \mathbb{Z}} V_j$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 中稠密；
4. $f \in V_j \Leftrightarrow f(2 \cdot) \in V_{j + 1}$；
5. 存在实值函数 $\varphi \in L^2(\mathbb{R})$，使得 ${\varphi(\cdot - k) : k \in \mathbb{Z}}$ 是 $V_0$ 的 Riesz 基，即 $V_0 = \text{span} {\varphi(\cdot - k) : k \in \mathbb{Z}}$，且存在常数 $c, C > 0$，使得 $c\sum_{k \in \mathbb{Z}} |c_k|^2 \leq \left|\sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \varphi(x - k)\right|^2 \leq C\sum_{k \in \mathbb{Z}} |c_k|^2$，对于所有 ${c_k} \in \ell^2(\mathbb{Z})$。

满足上述条件的函数 $\varphi$ 称为尺度函数，满足条件 5 的 $\varphi$ 是稳定的。如果 $\varphi$ 是正交的（即其整数平移的集合是正交系统），则 MRA 称为正交 MRA。

2.7 多分辨率逼近示例

2.7.1 Haar MRA

设 $\phi_0(x) = \chi_{[0, 1)}(x)$，对于 $j \in \mathbb{Z}$，定义 $V_j = {f(x) = \sum_{k} c_k \phi_0(2^j x - k) : {c_k} \in \ell^2(\mathbb{Z})}$。可以验证 $V_j \subseteq V_{j + 1}$，${V_j}$ 的嵌套性质可由 $\phi_0$ 的细化关系 $\phi_0(x) = \phi_0(2x) + \phi_0(2x - 1)$ 验证，其密度性质可由 $L^2(\mathbb{R})$ 中的函数可以被分段常数函数任意逼近得到，性质 2 可直接验证，且 $\phi_0$ 是正交的，因此 ${V_j}$ 是正交 MRA。

2.7.2 基数 B - 样条的细化

设 $\phi_0(x) = \chi_{[0, 1)}(x)$，则 $\varphi = \phi_0 * \phi_0$ 是分段线性 B - 样条（也称为帽函数），定义为：
[\varphi(x) = \min{x, 2 - x}\chi_{[0, 2)}(x) =
\begin{cases}
x, & \text{for } 0 \leq x < 1 \
2 - x, & \text{for } 1 \leq x < 2 \
0, & \text{elsewhere}
\end{cases}]
其傅里叶变换为 $\hat{\varphi}(\omega) = \hat{\phi}_0(\omega)^2 = (\frac{1 - e^{-i\omega}}{i\omega})^2 = (\frac{1 + e^{-i\omega/2}}{2})^2 \hat{\varphi}(\frac{\omega}{2})$，因此 $\varphi$ 是可细化的，细化掩码的符号为 $P(z) = (\frac{1 + z}{2})^2$。

更一般地，对于基数 B - 样条 $\varphi(x) = (\phi_0 * \phi_0 * \cdots * \phi_0)(x)$（$m$ 个 $\phi_0$ 卷积），其细化掩码的符号为 $P(z) = (\frac{1 + z}{2})^m$。

2.8 序列的符号

对于实数或复数序列 $g = {g_k}$，其两尺度符号（简称符号）定义为 $G(z) = \frac{1}{2}\sum_{k} g_k z^k$，其中 $z \in \mathbb{C} \setminus {0}$，不考虑级数的收敛性。对于有限序列 $g = {g_k}$（或只有有限个 $g_k$ 非零的无限序列），$G(z)$ 是 $z$ 或 $z^{-1}$ 的 Laurent 多项式。当 $z = e^{-i\omega}$ 时，$G(e^{-i\omega})$ 是三角函数多项式。当有限序列 ${g_k}$ 用作卷积数字滤波器时，$2G(z)$ 称为 ${g_k}$ 的 $z$ - 变换，有时也将 $G(z)$ 或 $G(e^{-i\omega})$ 称为有限脉冲响应（FIR）滤波器。

2.9 正交小波的构造

2.9.1 正交小波的条件

要构造正交小波，首先从低通 FIR 滤波器 $p = {p_k}$ 开始，使得对应的尺度函数 $\varphi$ 是正交的，即 $\varphi(x - k)$，$k \in \mathbb{Z}$ 相互正交。这意味着对应的符号 $P(z)$ 必须满足 $|P(z)|^2 + |P(-z)|^2 = 1$，$z \neq 0$，这样的滤波器 $p$（或 $P(z)$）称为正交镜像滤波器（QMF）。

2.9.2 高通滤波器的构造

根据 $P(z)$ 构造对应的高通滤波器 $q = {q_k}$，需要满足条件：
1. $|Q(z)|^2 + |Q(-z)|^2 = 1$，$z \neq 0$；
2. $P(z)Q(\frac{1}{z}) + P(-z)Q(-\frac{1}{z}) = 0$，$z \neq 0$。

可以通过 $Q(z) = -z^{2L - 1}P(-\frac{1}{z})$ 或等价地 $q_k = (-1)^k p_{2L - 1 - k}$，$k \in \mathbb{Z}$ 来定义高通滤波器，其中 $L$ 是任意整数。如果 $P(z)$ 是 QMF，则 $Q(z)$ 满足上述条件。

2.9.3 正交小波示例

• Haar 小波 ：设 $\phi_0(x) = \chi_{[0, 1)}(x)$，其细化掩码 $p_0 = p_1 = 1$，$p_k = 0$（$k \neq 0, 1$），定义 $q_k = (-1)^k p_{1 - k}$，则对应的小波 $\psi(x) = \phi_0(2x) - \phi_0(2x - 1)$ 是正交小波，称为 Haar 小波。
• D4 正交小波 ：设 ${p_k}$ 的非零项为 $p_0 = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$，$p_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{4}$，$p_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$，$p_3 = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$，其符号 $P(z) = \frac{1 - \sqrt{3}}{8} + \frac{3 - \sqrt{3}}{8}z + \frac{3 + \sqrt{3}}{8}z^2 + \frac{1 + \sqrt{3}}{8}z^3$ 是 QMF。定义 $q_k = (-1)^k p_{3 - k}$，则对应的高通滤波器 $Q(z)$ 满足构造条件，该滤波器称为 4 - 抽头正交滤波器或 4 - 抽头 Daubechies 滤波器（简称 D4 滤波器）。

2.10 多分辨率逼近与分析流程图

graph TD
    A[带限函数 f(x)] --> B[理想低通滤波器 \(\hat{\varphi}(2^{-J}\omega)\)]
    B --> C[信号恢复 f(x) = \(\sum_{k = -\infty}^{\infty} c_J^k \varphi(2^J x - k)\)]
    C --> D[二尺度关系 \(\varphi(x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} p_k \varphi(2x - k)\)]
    D --> E[向量空间嵌套序列 \(\{V_j\}\)]
    E --> F[理想带通滤波器 \(\hat{\psi}_I(\omega)\)]
    F --> G[小波 \(\psi(x)\) 定义]
    G --> H[多分辨率逼近（MRA）]
    H --> I[正交小波构造]

2.11 多分辨率逼近性质总结

性质	描述
嵌套性	$V_j \subset V_{j + 1}$，$j \in \mathbb{Z}$
交集为零	$\bigcap_{j \in \mathbb{Z}} V_j = {0}$
稠密性	$\bigcup_{j \in \mathbb{Z}} V_j$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 中稠密
尺度不变性	$f \in V_j \Leftrightarrow f(2 \cdot) \in V_{j + 1}$
Riesz 基	存在实值函数 $\varphi \in L^2(\mathbb{R})$，使得 ${\varphi(\cdot - k) : k \in \mathbb{Z}}$ 是 $V_0$ 的 Riesz 基

3. 双正交小波的构造

3.1 双正交小波的定义

由于紧支撑正交小波除了 Haar 小波外不能是对称的，为了获得对称性，将正交性放宽为双正交性。两个紧支撑函数 $\psi$ 和 $\tilde{\psi}$ 称为一对双正交小波，如果两个族 ${\psi_{j,k}} {j,k\in\mathbb{Z}}$ 和 ${\tilde{\psi} {j,k}} {j,k\in\mathbb{Z}}$ 相互双正交，即 $\langle\psi {j,k}, \tilde{\psi} {j’,k’}\rangle = \delta {j - j’}\delta_{k - k’}$，$j, k, j’, k’ \in \mathbb{Z}$，并且每个族都是 $L^2(\mathbb{R})$ 的 Riesz 基。在这种情况下，${\psi, \tilde{\psi}}$ 中的一个称为另一个的对偶。

3.2 双正交小波的构造步骤

1. 选择低通滤波器 ：构造紧支撑双正交小波从两个 FIR 低通滤波器 $p = {p_k}$ 和 $\tilde{p} = {\tilde{p} k}$ 开始，使得对应的尺度函数 $\varphi$ 和 $\tilde{\varphi}$ 相互双正交，即 $\langle\varphi(\cdot - j), \tilde{\varphi}(\cdot - k)\rangle = \delta {j - k}$，$j, k \in \mathbb{Z}$。这要求 $p$ 和 $\tilde{p}$ 的符号 $P(z)$ 和 $\tilde{P}(z)$ 满足 $\tilde{P}(z)P(\frac{1}{z}) + \tilde{P}(-z)P(-\frac{1}{z}) = 1$。
2. 选择高通滤波器 ：选择两个 FIR 滤波器 $Q(z)$ 和 $\tilde{Q}(z)$，满足以下构造标准：
   • $\tilde{Q}(z)Q(\frac{1}{z}) + \tilde{Q}(-z)Q(-\frac{1}{z}) = 1$；
   • $\tilde{Q}(z)P(\frac{1}{z}) + \tilde{Q}(-z)P(-\frac{1}{z}) = 0$；
   • $\tilde{P}(z)Q(\frac{1}{z}) + \tilde{P}(-z)Q(-\frac{1}{z}) = 0$。
3. 定义小波 ：通过傅里叶变换定义小波 $\psi$ 和 $\tilde{\psi}$ 为 $\hat{\psi}(\omega) = Q(e^{-i\frac{\omega}{2}})\hat{\varphi}(\frac{\omega}{2})$，$\hat{\tilde{\psi}}(\omega) = \tilde{Q}(e^{-i\frac{\omega}{2}})\hat{\tilde{\varphi}}(\frac{\omega}{2})$，或者等价地直接定义为 $\psi(x) = \sum_{k} q_k \varphi(2x - k)$，$\tilde{\psi}(x) = \sum_{k} \tilde{q}_k \tilde{\varphi}(2x - k)$。

3.3 双正交小波的性质

• $\langle\psi, \tilde{\psi}(\cdot - k)\rangle = \delta_{k}$，$k \in \mathbb{Z}$；
• $\langle\varphi, \tilde{\psi}(\cdot - k)\rangle = 0$，$\langle\tilde{\varphi}, \psi(\cdot - k)\rangle = 0$，$k \in \mathbb{Z}$；
• 由 $\varphi$ 和 $\tilde{\varphi}$ 生成的 ${V_j}$ 和 ${\tilde{V} j}$ 形成两个相互双正交的 MRA，即 $\langle\varphi {j,k}, \tilde{\varphi} {j,k’}\rangle = \delta {k - k’}$，$j, k, k’ \in \mathbb{Z}$。
• 定义 $W_j = \text{span}{\psi(2^j \cdot - k) : k \in \mathbb{Z}}$，$\tilde{W} j = \text{span}{\tilde{\psi}(2^j \cdot - k) : k \in \mathbb{Z}}$，则 $V {j + 1} = W_j + V_j$，$\tilde{V} {j + 1} = \tilde{W}_j + \tilde{V}_j$，并且 $W_j \perp \tilde{W} {j’}$，对于任何 $j \neq j’$。

3.4 双正交滤波器选择示例

对于给定的一对双正交 FIR 低通滤波器 $p$ 和 $\tilde{p}$，可以选择 FIR 高通滤波器 $q$ 和 $\tilde{q}$ 如下：
$Q(z) = -z^{2s - 1}\tilde{P}(-\frac{1}{z})$，$\tilde{Q}(z) = -z^{2s - 1}P(-\frac{1}{z})$，其中 $s$ 是任意整数。如果 $p$ 和 $\tilde{p}$ 是双正交的，即 $P(z)$ 和 $\tilde{P}(z)$ 满足 $\tilde{P}(z)P(\frac{1}{z}) + \tilde{P}(-z)P(-\frac{1}{z}) = 1$，则 $Q(z)$ 和 $\tilde{Q}(z)$ 满足上述构造标准。

3.5 5/3 - 抽头双正交滤波器组示例

设 ${p_k}$，${\tilde{p}_k}$ 的滤波器符号为：
$P(z) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}z + \frac{1}{4}z^2$，$\tilde{P}(z) = -\frac{1}{8}z^{-1} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}z + \frac{1}{4}z^2 - \frac{1}{8}z^3$。
设 ${q_k}$，${\tilde{q}_k}$ 的滤波器由 $s = 1$ 的上述公式定义，则：
$Q(z) = -\frac{1}{8}z^{-2} - \frac{1}{4}z^{-1} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}z - \frac{1}{8}z^2$，$\tilde{Q}(z) = -\frac{1}{4}z^{-1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}z$。
$P(z)$，$Q(z)$，$\tilde{P}(z)$，$\tilde{Q}(z)$ 满足双正交滤波器的构造标准，$p$，$q$，$\tilde{p}$，$\tilde{q}$ 构成一个双正交滤波器组。与 $P(z)$ 相关的尺度函数是线性 B - 样条（即帽函数），这两个低通滤波器 $\tilde{p}$ 和 $p$ 分别有 5 个和 3 个非零项，通常称为 5/3 - 抽头双正交滤波器，已被 JPEG2000 图像压缩标准用于无损数字图像压缩。

3.6 双正交小波构造流程图

graph TD
    A[选择低通滤波器 p 和 \(\tilde{p}\)] --> B[验证符号条件 \(\tilde{P}(z)P(\frac{1}{z}) + \tilde{P}(-z)P(-\frac{1}{z}) = 1\)]
    B --> C[选择高通滤波器 Q 和 \(\tilde{Q}\)]
    C --> D[验证高通滤波器条件]
    D --> E[定义小波 \(\psi\) 和 \(\tilde{\psi}\)]
    E --> F[验证双正交小波性质]

3.7 双正交小波与正交小波对比

对比项	正交小波	双正交小波
对称性	除 Haar 小波外一般不对称	可具有对称性
构造起始	低通 FIR 滤波器 $p$	两个低通 FIR 滤波器 $p$ 和 $\tilde{p}$
滤波器条件	$	P(z)
应用场景	一般信号处理	对对称性有要求的场景，如图像压缩

4. 相关练习

4.1 向量空间性质证明

• 证明在 Haar MRA 中，$V_j \subset V_{j + 1}$ 对于所有 $j \in \mathbb{Z}$。
• 直接证明在 Haar MRA 中，$\bigcap_{j \in \mathbb{Z}} V_j = {0}$。

4.2 可细化性判断

• 判断 $\varphi(x) = \chi_{[0, 1.5)}(x)$ 是否可细化。
• 判断 $\varphi(x) = \chi_{[0, 1)}(x) + \frac{1}{2}\chi_{[1, 2)}(x)$ 是否可细化。
• 设 $\varphi(x)$ 是帽函数，$\phi(x) = \varphi(x) + \frac{1}{2}\varphi(x - 1)$，判断 $\phi(x)$ 是否可细化。

4.3 细化方程验证

• 设 $\varphi$ 是基数 B - 样条，证明其细化掩码的符号为 $P(z) = (\frac{1 + z}{2})^m$。
• 设 $\varphi$ 是帽函数，直接证明 $\varphi(x) = \frac{1}{2}\varphi(2x) + \varphi(2x - 1) + \frac{1}{2}\varphi(2x - 2)$，$x \in \mathbb{R}$。
• 设 $\varphi$ 是二次 B - 样条，直接证明 $\varphi(x) = \frac{1}{4}\varphi(2x) + \frac{3}{4}\varphi(2x - 1) + \frac{3}{4}\varphi(2x - 2) + \frac{1}{4}\varphi(2x - 3)$，$x \in \mathbb{R}$。

4.4 滤波器性质验证

• 假设 FIR 低通滤波器 $P(z)$ 是 QMF，证明由 $Q(z) = -z^{2L - 1}P(-\frac{1}{z})$ 定义的 $Q(z)$ 满足 $|Q(z)|^2 + |Q(-z)|^2 = 1$ 和 $P(z)Q(\frac{1}{z}) + P(-z)Q(-\frac{1}{z}) = 0$。
• 设 $P(z)$ 和 $Q(z)$ 是 D4 正交滤波器，直接验证 $P(z)$ 满足 $|P(z)|^2 + |P(-z)|^2 = 1$，$Q(z)$ 满足 $|Q(z)|^2 + |Q(-z)|^2 = 1$，以及 $P(z)$，$Q(z)$ 满足 $P(z)Q(\frac{1}{z}) + P(-z)Q(-\frac{1}{z}) = 0$。
• 假设 FIR 滤波器 $P(z)$ 和 $\tilde{P}(z)$ 满足 $\tilde{P}(z)P(\frac{1}{z}) + \tilde{P}(-z)P(-\frac{1}{z}) = 1$，证明由 $Q(z) = -z^{2s - 1}\tilde{P}(-\frac{1}{z})$ 和 $\tilde{Q}(z) = -z^{2s - 1}P(-\frac{1}{z})$ 定义的 $Q(z)$ 和 $\tilde{Q}(z)$ 满足双正交滤波器的构造标准。
• 设 $P(z)$，$\tilde{P}(z)$，$Q(z)$，$\tilde{Q}(z)$ 是 5/3 - 抽头双正交滤波器组，直接验证它们满足双正交滤波器的构造标准。

4.5 小波性质证明

证明 $W_j \perp \tilde{W}_{j’}$ 对于 $j \neq j’$，并应用此事实验证 $\psi$ 和 $\tilde{\psi}$ 构成一对双正交小波。

4.6 练习总结

练习类型	具体内容
向量空间性质证明	$V_j$ 嵌套性和交集性质证明
可细化性判断	多种函数可细化性判断
细化方程验证	不同样条函数细化方程验证
滤波器性质验证	正交和双正交滤波器性质验证
小波性质证明	双正交小波性质证明

通过以上对小波变换、多分辨率逼近、正交小波和双正交小波的介绍和分析，我们可以看到小波理论在信号处理和图像压缩等领域有着广泛的应用。不同类型的小波和滤波器组各有特点，可以根据具体的应用需求进行选择和设计。相关的练习有助于我们深入理解和掌握这些理论和方法。