13、信号处理中的Z变换与小波变换

信号处理中的Z变换与小波变换

1. Z变换基础

1.1 单边Z变换的时移性质

在处理单边Z变换时，我们需要重新推导其时间移位属性。假设给定序列 $x[n - i]$，对其进行单边Z变换可得：
[
\begin{align }
\sum_{n = 0}^{+\infty}x[n - i]z^{-n} &= \sum_{p = -i}^{+\infty}x[p]z^{-(p + i)}\
&= \sum_{p = -i}^{-1}x[p]z^{-(p + i)} + z^{-i}\sum_{p = 0}^{+\infty}x[p]z^{-p}\
&= x[-i] + \cdots + x[-1]z^{-(i - 1)} + z^{-i}X(z)
\end{align }
]
为求解相关方程，可对等式两边取单边Z变换，并利用线性和时移性质。输出 $y[n]$（$n \geq 0$）可通过对 $Y(z)$ 进行逆Z变换得到：
[
Y(z) = \frac{\sum a_kz^{-k}}{\sum b_kz^{-k}}X(z) + \frac{\sum a_k\sum x[p]z^{-(p + k)} - \sum b_k\sum y[p]z^{-(p + k)}}{\sum b_kz^{-k}}
]
求解 $Y(z)$ 需要知道初始条件 $y[n]$（$n = -D, \cdots, -1$）和 $x[n]$（$n = -N, \cdots, -1$）。若 $x[n]$ 为因果序列且初始条件均为零，则上述解与双边Z变换的解相同，即简化为 $