21、多尺度分析与小波变换：原理、应用与快速算法

多尺度分析与小波变换：原理、应用与快速算法

1 多尺度表示基础

在多尺度分析中，若使用递增索引的符号表示，存在一系列嵌套的子空间关系，如 · · · V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 · · · 。此时，尺度空间 Vj 的基 φj,k 由函数 φj,k(x) = 2j/2φ(2jx − k) 构成，但这与离散小波时所用的符号表示不太一致，容易造成混淆。

1.1 多分辨率表示的定义

多分辨率表示在 L2(R) 中由一系列闭子空间 Vj（j ∈ Z）定义，需满足以下性质：
- (M1) 嵌套性 ：Vj ⊂ Vj−1，表明随着尺度的变化，子空间逐渐包含更多信息。
- (M2) 尺度变换性质 ：f ∈ Vj 当且仅当 f(2u) ∈ Vj−1，体现了尺度变化与函数所属子空间的关系。
- (M3) 交集性质 ：∩j∈Z Vj = {0}，意味着所有子空间的交集仅包含零函数。
- (M4) 并集性质 ：∪j∈Z Vj = L2(R)，说明所有子空间的并集构成了整个 L2(R) 空间。
- (M5) 正交基性质 ：存在函数 φ ∈ V0，使得集合 {φ(u − k); k ∈ Z} 是 V0 的正交基。函数 φ 被称为多分辨率表示的尺度函数，每个空间 Vj 称为尺度空间，更精确地说是尺度为 2j 的空间。

1.2 哈尔多分辨率分析示例

考虑函数 φ(t) = χ[0,1]，即当 x < 0 或 t ≥ 1 时，