28、小波变换：理论、应用与构建

小波变换：理论、应用与构建

1. 小波变换基础

1.1 小波函数的定义与性质

首先，我们来看小波函数 $\psi(t)$ 的定义。它满足如下关系：
[
\Psi(\omega) = \frac{2G_s^ (-e^{j\omega})}{e^{j\omega}}\Phi(\frac{\omega}{2})
]
对应的时域表达式为：
[
\psi(t) = 2\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n + 1}g_s^ (n - 1)\varphi(2t - n)
]
这个函数具有一些有用的性质：
- 它属于 $L^2$ 空间，这是根据 Riesz–Fisher 定理得出的，因为 $\sum_{n}|g_s(n)|^2$ 是有限的。
- $\psi(t) \in W_0$，并且 ${\psi(t - n)}$ 是 $W_0$ 的正交基。进一步地，${2^{k/2}\psi(2^kt - n)}$ 是 $W_k$ 的正交基，当 $k$ 和 $n$ 遍历所有整数时，${2^{k/2}\psi(2^kt - n)}$ 构成了 $L^2$ 空间的正交小波基。

1.2 多分辨率分析与小波基的构建

要构建 $L^2$ 空间的小波基，关键在于构建 $V_0$ 的正交基 ${\varphi(t - n)}$。如果 $\varphi(t)$ 满足以下条件：
- $\varphi(t) \in L^2$ 且生成正交多分辨率，即空间序列 ${V_k}$ 满足多分辨率定义的六个性质。
- ${\varphi(t -