21、小波变换的原理、特性与应用解析

小波变换的原理、特性与应用解析

1. 基础概念引入

1.1 L2 空间与正交基

在信号处理领域，我们常关注 L2 函数，也就是平方可积函数。对于函数 (x(t))，若 (\int |x(t)|^2 dt) 存在且值有限，它就属于 L2 函数。其 L2 范数定义为 (|x(t)|_2 = (\int |x(t)|^2 dt)^{1/2})。L2 函数构成了一个线性向量空间，并且存在可数的基函数 ({g_n(t)})，使得任意 L2 函数 (x(t)) 都能表示为 (x(t) = \sum_n \alpha_n g_n(t))。

L2 空间具有正交基，满足 (\langle g_k(t), g_m(t) \rangle = \delta(k - m))，其中 (\langle f(t), g(t) \rangle = \int f(t)g^*(t)dt) 表示内积。对于正交基，展开式 (x(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \alpha_n g_n(t)) 中的系数 (\alpha_n) 可通过简单关系 (\alpha_n = \langle x(t), g_n(t) \rangle) 计算。

例如，时间受限信号（(0 \leq t \leq 1)）的傅里叶级数展开，基函数 ({e^{j2\pi nt}}) 是正交的；带限信号的展开中，sinc 函数的移位版本 (f(t - nT)) 构成了带限信号的正交基。

1.2 正交投影

假设我们考虑正交基 ({g_n(t)}) 的一个子集 ({g_{nk}(t)})，由其生成的子空间记为 (\mathcal{V})。对于信号 (x(t))，线性