3.3 Ax=b 的完全解

一、Ax = b

在求解 $A\mathbf{x}=0$ 时，我们将其转化成 $R\mathbf{x}=0$，将自由变量赋予特殊值（1 或 0），主元变量即可通过回代求出。这个过程中我们没有关注右侧的 $\mathbf{b}$，这是因为它一直为零，解 $\mathbf{x}$ 在 $A$ 的零空间。
如果 $\mathbf{b}$ 不再是零时，右侧与左侧需要进行同样的行操作，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 可以简化成 $R\mathbf{x}=\mathbf{d}$ 的形式，它们的解是相同的。将 $\mathbf{b}$ 作为额外的一列加在初始矩阵后，即增广矩阵。例如在 $A$ 后加入右侧向量 $(b_1,b_2,b_3)=(1,6,7)$ 可以得到一个增广矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right]$：$$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 1& 4\\ 1& 3& 1& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\\ 7\end{array}\right]增广矩阵\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 4& 6\\ 1& 3& 1& 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right]$$当我们对 $A$ 使用消元法得到 $R$ 时，也要对 $\mathbf{b}$ 进行同样的操作。
上例是行 $3$ 减去行 $1$，然后行 $3$ 再减去行 $2$，此时得到 $R$ 一行全为零，$\mathbf{b}$ 也成了新的右侧向量 $\mathbf{d}=(1,6,0)$：$$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0\end{array}\right]增广矩阵\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 4& 6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& d\end{array}\right]$$最后一零 $0$ 非常重要，第三个方程变为了 $0=0$，所以方程有解。在初始矩阵 $A$ 中，第一行加上第二行等于第三行，如果方程一致，那么右侧也要一致。右侧向量 $\mathbf{b}$ 最重要的性质是 $1+6=7$，这样就会得到 $0=0$。
对于一般的 $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 的增广矩阵：$$\left[\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& b_1\\ 0& 0& 1& 4& b_2\\ 1& 3& 1& 6& b_3\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& b_1\\ 0& 0& 1& 4& b_2\\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_1-b_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& d\end{array}\right]$$只有当 $b_3-b_1-b_2=0$ 时，第三个方程才是 $0=0$，即 $b_1+b_2=b_3$。

二、一个特解 A$x_p$ = b

将自由变量全部设为 $0$：$x_2=x_4=0$，则两个非零方程会得到两个主元变量 $x_1=1，x_3=6$，这样就很简单求得了一个特解（particular solution）。对于 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$（也是 $R\mathbf{x}=\mathbf{d}$ ）的一个特解就是 ${\mathbf{x}}_p=(1,0,6,0)$。求特解的方法：自由变量 = 0，主元变量来自 $\mathbf{d}$。$$\begin{gathered} 如果解存在，R的零行对应的\mathbf{d}也必须为零。因为I在R的主元行和主元列，所以{\mathbf{x}}_{particular}来自于\mathbf{d} \\ R{\mathbf{x}}_p=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 6\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0\end{array}\right]\begin{array}{c}主元变量1,6\\ 自由变量0,0\\ 解{\mathbf{x}}_p=(1,0,6,0)\end{array} \end{gathered}$$因为我们将自由变量全部设为零，所以当简化至 $R$ 后，这些步骤很快就能完成。将自由变量设为零后，主元变量就可以在右侧的向量 $\mathbf{d}$ 中看到。

$$\begin{gathered} {\mathbf{x}}_{particular}特解是求解A{\mathbf{x}}_p=\mathbf{b} \\ {\mathbf{x}}_{nullspace}n-r个特殊解是求解A{\mathbf{x}}_n=0 \end{gathered}$$

特解是 $(1,0,6,0)$，$R\mathbf{x}=0$ 的两个特殊解（special solution）（零空间）来自 $R$ 的两个自由列，通过反转 $3,2,4$ 的符号来得到。
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的完全解写成 ${\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n$：

$$\begin{array}{c}完全解\\ 一个x_p\\ 很多x_n\end{array}\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 6\\ 0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -4\\ 1\end{array}\right]$$

问题： 假设 $A$ 是可逆的方阵，$m=n=r$，则 ${\mathbf{x}}_p$ 和 $x_n$ 是什么？
答： 特解 ${\mathbf{x}}_p=A^{-1}\mathbf{b}$ 有且只有一个唯一解。不存在特殊解或自由变量。$R=I$ 没有零行，零空间只有一个向量 ${\mathbf{x}}_n=0$，完全解是 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n=A^{-1}\mathbf{b}+0$。
若 $A$ 是可逆的方阵，$N(A)$ 只含有零向量，$\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$ 可以简化成 $\left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}\mathbf{b}\end{array}\right]$，$A$ 最终会变成 $I$，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 会变成 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ 就是 $\mathbf{d}$。这个虽说是特殊情况，但是实际上方形可逆矩阵是最常见的。
对于小型矩阵，我们可以将 $\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$ 简化成 $\left[\begin{array}{cc}R& \mathbf{d}\end{array}\right]$。对于大型矩阵，我们可以使用 MATLAB，一个特解可以使用 $\mathbf{x}=A\backslash \mathbf{b}$（表示 $A^{-1}$ 乘 $\mathbf{b}$ ）得到。

【例1】若要使 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，$(b_1,b_2,b_3)$ 需要满足什么条件？$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ -2& -3\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$$条件是 $\mathbf{b}$ 必须在 $A$ 的列空间中。求完全解 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n$。
解： 加入额外的 $\mathbf{b}$ 得到增广矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$，在该矩阵中从行 $2$ 减去行 $1$，然后行 $3$ 加上 $2$ 倍的行 $1$，得到 $\left[\begin{array}{cc}R& \mathbf{d}\end{array}\right]$：$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& b_1\\ 1& 2& b_2\\ -2& -3& b_3\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 1& b_1\\ 0& 1& b_2-b_1\\ 0& -1& b_3+2b_1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2b_1-b_2\\ 0& 1& b_2-b_1\\ 0& 0& b_3+b_1+b_2\end{array}\right]$$当 $b_1+b_2+b_3=0$ 时，可以使得最后一个方程是 $0=0$，这个是 $\mathbf{b}$ 在 $A$ 列空间中的条件，此时 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。$A$ 的三个行相加产生零行，因为方程两边的一致性，所以 $\mathbf{b}$ 的分量相加也必须为零。
上例中由于 $n-r=2-2=0$，所以没有自由变量，也就没有特殊解。零空间的解是 ${\mathbf{x}}_n=0$。$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 和 $R\mathbf{x}=\mathbf{d}$ 的特解在最后一列 $\mathbf{d}$ 的顶端：$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}的唯一解\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n=\left[\begin{array}{c}2b_1-b_2\\ b_2-b_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$如果 $b_1+b_2+b_3$ 不为零，则 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解（${\mathbf{x}}_p$ 和 $\mathbf{x}$ 不存在）。
例1是一个典型的重要例子：$A$ 是列满秩的。每一列都有主元，秩 $r=n$。这个矩阵又高又细（$m\ge n$），当 $A$ 简化到 $R$ 时，$I$ 会在 $R$ 的最顶端：$$列满秩R=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}n\times n的I\\ m-n个零行\end{array}\right](\mathrm{3.3.1})$$这种情况没有自由列或自由变量，零空间是 $\text{Z}=零向量$。

列满秩（r=n）的矩阵 $A$ 有下列性质：

1. A 的每一列都是主元列。
2. 没有自由变量或特殊解。
3. 零空间 $N(A)$ 仅包含零向量 $\mathbf{x}=0$。
4. 若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有一个解（也可能没有），则这个解是唯一解。

这种情况下，$A$ 或 $R$ 的零空间收缩至零向量，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解是唯一的（如果存在的话），$R$ 中会有 $m-n$ 个零行，而为了保证这些行最终会得到 $0=0$，在 $\mathbf{b}$ 中会有 $m-n$ 个条件，此时 $\mathbf{b}$ 在列空间中。
列满秩 $r=n$ 时，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有一个解或无解。

三、完全解

另外一个极端的情况就是行满秩，此时 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有一个或无穷多个解，$A$ 是又矮又宽（$m\le n$）。如果 $r=m$，矩阵 $A$ 有行满秩。这些行是无关的，每一行都有一个主元。

【例2】系统 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有 $n=3$ 个未知数，但是只有 $m=2$ 个方程：$$行满秩\begin{array}{c}x+y+z=3\\ x+2y-z=4\end{array}(秩r=m=2)$$这是 $xyz$ 空间中的两个平面，它们不平行，所以会相交于一条直线，这条直线就是该系统的解，我们通过消元法可以得到这条直线。特解就是这条直线上的一点，再加上零空间向量 $x_n$，可以使得该点在Figure 3.3 上的直线上移动。$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n$ 就可以得到整条直线上的解。

对 $\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$ 进行消元可以得到 ${\mathbf{x}}_p$ 和 ${\mathbf{x}}_n$。行 $2$ 减去行 $1$，然后行 $1$ 再减去行 $2$ 可得：$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& 2& -1& 4\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 2\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& \mathbf{d}\end{array}\right]$$特解有自由变量 $x_3=0$，特殊解有自由变量 $x_3=1$：$$\begin{gathered} {\mathbf{x}}_{\text{particular}}直接来自有右侧的\mathbf{d}:{\mathbf{x}}_p=(2,1,0) \\ {\mathbf{x}}_{\text{special}}来自于R第三列（自由列）:\mathbf{s}=(-3,2,1) \end{gathered}$$下面检验一下 ${\mathbf{x}}_p$ 和 $\mathbf{s}$ 是否满足原始方程 $A{\mathbf{x}}_p=\mathbf{b}$ 和 $A\mathbf{s}=0$：$$\begin{array}{c}2+1=3\\ 2+2=4\end{array}\begin{array}{c}-3+2+1=0\\ -3+4-1=0\end{array}$$零空间解 ${\mathbf{x}}_n$ 是 $\mathbf{s}$ 的任意倍数。系统的解沿着直线移动，起点是 ${\mathbf{x}}_{\text{paticular}}$。注意完全解的写法：

$$完全解\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right]$$

这条解的直线就是 Figure3.3 画出来的，直线的任意一点都可以选成特解，我们一般选择 $x_3=0$ 这一点。
特解不能乘任意常数！特殊解才需要这个常数，因为要得所有零空间的 ${\mathbf{x}}_n$。
下面总结一些这种又矮又宽的行满秩的情况。如果 $m<n$，则方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是欠定的（undetermined），即有很多解。

行满秩 （r=m）的矩阵有以下性质：

1. 所有的行都有主元，$R$ 没有零行。
2. 对于任意的右侧向量 $\mathbf{b}$，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 都有解。
3. 列空间是整个 ${\text{R}}^m$ 空间。
4. $A$ 的零空间中有 $n-r=n-m$ 个特殊解。

这种 $m$ 个主元的情况，这些行都线性无关。因此 $A^T$ 的列也是线性无关，$A^T$ 的零空间是零向量。
总结共有 $4$ 种与秩相关的可能性：$$\begin{gathered} 线性方程组与秩r相关的4种可能性 \\ \begin{array}{ccc}r=m且r=n& 方形可逆& A\mathbf{x}=\mathbf{b}有1个解\\ r=m且r<n& 矮且宽& A\mathbf{x}=\mathbf{b}有\infty 多解\\ r<m且r=n& 高且细& A\mathbf{x}=\mathbf{b}有0或1个解\\ r<m且r<n& 非满秩& A\mathbf{x}=\mathbf{b}有0或\infty 多解\end{array} \end{gathered}$$行简化矩阵 $R$ 和矩阵 $A$ 是相同种类的，如果主元列正好第一个出现，则可以列出 $R$ 的 $4$ 种可能性。$R\mathbf{x}=\mathbf{d}$（和原始的 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ）有解，$\mathbf{d}$ 的后面一定有 $m-r$ 个零行，$F$ 是 $R$ 的自由部分。$$\begin{array}{c}R的四种形式\\ \\ 它们的秩\end{array}\begin{array}{cccc}\left[\begin{array}{c}I\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]& \left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]\\ & & & \\ r=m=n& r=m<n& r=n<m& r<m,r<n\end{array}$$形式 $1$ 和 $2$ 有行满秩 $r=m$，形式 $1$ 和 $3$ 有列满秩 $r=n$，形式 $4$ 理论上是最常见的，但是实际上很少见。
如果主元列并不是都在前面出现，这 $I$ 和 $F$ 会有交叉的现象。

四、主要内容总结

1. 秩 $r$ 是主元的个数，行简化矩阵 $R$ 有 $m-r$ 个零行。
2. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，当且仅当最后 $m-r$ 个方程可以简化为 $0=0$。
3. 一个特解 ${\mathbf{x}}_p$ 的所有自由变量都为 $0$。
4. 主元变量是在自由变量选定后被确定的。
5. 列满秩矩阵 $r=n$ 没有自由变量：一个或无解。
6. 行满秩矩阵 $r=m$，如果 $m=n$ 则有一个解；如果 $m<n$ 则有无穷多解。

五、例题

【例3】该问题将消元法（主元列和回代）与列空间 - 零空间 - 秩 - 可解性联系起来。$A$ 的秩是 $2$：$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}是\begin{array}{c}{x}_1+2x_2+3x_3+5x_4=b_1\\ 2x_1+4x_2+8x_3+12x_4=b_2\\ 3x_1+6x_2+7x_3+13x_4=b_3\end{array}$$

1. 简化 $\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$ 到 $\left[\begin{array}{cc}U& \mathbf{c}\end{array}\right]$，使 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 变成三角系统 $U\mathbf{x}=\mathbf{c}$。
2. 若要 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，则 $b_1,b_2,b_3$ 需要满足什么条件？
3. 描述 $A$ 的列空间，是 ${\text{R}}^3$ 的哪个平面？
4. 描述 $A$ 的零空间，${\text{R}}^4$ 中的特殊解是什么？
5. 设 $\mathbf{b}=(0,6,-6)$，简化 $\left[\begin{array}{cc}U& \mathbf{c}\end{array}\right]$ 到 $\left[\begin{array}{cc}R& \mathbf{d}\end{array}\right]$：特殊解来自 $R$，特解来自于 $\mathbf{d}$。
6. 找到一个 $A\mathbf{x}=(0,6,-6)$ 的特解，然后写出完全解。

解：

1. 消元法的乘数是 $2,3,-1$，消元后 $\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$ 会变成 $\left[\begin{array}{cc}U& \mathbf{c}\end{array}\right]$：$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 5& b_1\\ 2& 4& 8& 12& b_2\\ 3& 6& 7& 13& b_3\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccrrl}1& 2& 3& 5& b_1\\ 0& 0& 2& 2& b_2-2b_1\\ 0& 0& -2& -2& b_3-3b_1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccl}1& 2& 3& 5& b_1\\ 0& 0& 2& 2& b_2-2b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3+b_2-5b_1\end{array}\right]$$
2. $b_3+b_2-5b_1=0$ 是方程解的条件，此时最后一个方程可以简化为 $0=0$。
3. 第一种描述： 列空间是包含主元列 $(1,2,3)$ 和 $(3,8,7)$ 所有线性组合的平面，主元列是第 $1$ 列和第 $3$ 列；
   第二种描述： 列空间包含满足 $b_3+b_2-5b_1=0$ 的所有向量；该条件使得方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，所以 $\mathbf{b}$ 就在列空间中。$A$ 中的所有列都满足 $b_3+b_2-5b_1=0$，这也是第一种描述中的平面方程。
4. 特殊解有自由变量 $x_2=1,x_4=0$ 和 $x_2=0,x_4=1$：$$\begin{array}{l}A\mathbf{x}=0的特殊解\\ 回代进U\mathbf{x}=\mathbf{c}\\ 或改变R中2,2,1的符号\end{array}{\mathbf{s}}_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]{\mathbf{s}}_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right]$$${\text{R}}^4$ 中的零空间 $N(A)$ 包含所有的 ${\mathbf{x}}_n=c_1{\mathbf{s}}_1+c_2{\mathbf{s}}_2$。
5. 简化后的矩阵 $R$，第三列从 $U$ 的 $(3,2,0)$ 变成了 $(0,1,0)$，右边的从 $\mathbf{c}=(0,6,0)$ 变成了 $\mathbf{d}=(-9,3,0)$，${\mathbf{x}}_p$ 中的 $-9$ 和 $3$ 都来自于 $\mathbf{d}$：$$\left[\begin{array}{cc}U& \mathbf{c}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 5& 0\\ 0& 0& 2& 2& 6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}R& \mathbf{d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 2& -9\\ 0& 0& 1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
6. 将所有自由变量都设为 $0$，然后在 $U\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 中回代，或者直接取自 $\mathbf{d}$：$$\begin{array}{l}A{\mathbf{x}}_p=\mathbf{b}的特解\\ 从向量\mathbf{d}中得到-9和3\\ 自由变量x_2和x_4都为0\end{array}{\mathbf{x}}_p=\left[\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right]$$$A\mathbf{x}=(0,6,-6)$ 的完全解是 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_p+c_1{\mathbf{s}}_1+c_2{\mathbf{s}}_2$。

【例4】假设已知 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一些信息，其中 $\mathbf{b}$ 是一个特定值。下面描述可以得到 $m,n,r$（和 $A$）的什么信息？还有 $\mathbf{b}$ 的可能信息？

1. 只有一个解。
2. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 所有的解有 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ 的形式。
3. 无解。
4. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 所有的解有 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ 的形式。
5. 有无穷多解。

解： 1、只有一个解的情况：$A$ 是列满秩 $r=n$，$A$ 的零空间仅含有零向量，一定有 $m\ge n$。
2、$A$ 肯定有 $n=2$ 个列（$m$ 是任意的），其中 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ 在 $A$ 的零空间，列 $2$ 是列 $1$ 的负号，且 $A\ne 0$，秩 $r=1$。因为 $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ 是一个解，所以 $\mathbf{b}=2(\text{column}2)+(\text{column}1)$，${\mathbf{x}}_p$ 也可以选择 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$。
3、无解时，仅能得到 $\mathbf{b}$ 不在 $A$ 的列空间中，$A$ 的秩 $r<m$。而且 $\mathbf{b}\ne 0$，否则 $\mathbf{x}=0$ 就是一个解。
4、$A$ 肯定有 $n=3$ 个列，其中 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ 在 $A$ 的零空间中，列 $3$ 是列 $1$ 的负号，且列 $2$ 肯定不是列 $1$ 的倍数，否则零空间将会有另外一个特殊解，因此 $A$ 的秩 $r=3-1=2$。$A$ 肯定有 $m\ge 2$ 行，右侧向量 $\mathbf{b}=\text{column1}+\text{column2}$。
5、有无穷多解的情况：零空间肯定包含非零向量，秩 $r<n$（非列满秩），$\mathbf{b}$ 肯定是在 $A$ 的列空间中。但是我们不清楚是不是每个 $\mathbf{b}$ 都在列空间中（列满秩任意的右侧向量 $\mathbf{b}$ 只能在列空间中），所以无法确定 $r$ 与 $m$ 是否相等。

【例5】利用前向消元求完全解 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_n$：$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 4& 4& 8\\ 4& 8& 6& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\\ 10\end{array}\right]$$找到 $y_1,y_2,y_3$，使得 $y_1(\text{row}1)+y_2(\text{row2})+y_3(\text{row3})=零行$。验证 $\mathbf{b}=(4,2,10)$ 满足 $y_1{b}_1+y_2{b}_2+y_3{b}_3=0$，为什么该条件是方程有解和 $\mathbf{b}$ 在列空间的条件？
解： 对 $\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$ 进行前向消元会在 $\left[\begin{array}{cc}U& \mathbf{c}\end{array}\right]$ 中产生一个零行，第三个方程会变成 $0=0$，方程有一致性（有解）：$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 0& 4\\ 2& 4& 4& 8& 2\\ 4& 8& 6& 8& 10\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 0& 4\\ 0& 0& 2& 8& -6\\ 0& 0& 2& 8& -6\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 0& 4\\ 0& 0& 2& 8& -6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$列 $1$ 和列 $3$ 是主元列，$x_2$ 和 $x_4$ 是自由变量，如果将自由变量设为 $0$，那么通过回代就可以求出特解，还可以继续化简得到 $R$。
设自由变量为 $0$，则由 $R\mathbf{x}=\mathbf{d}$ 可得到特解 ${\mathbf{x}}_p=(7,0,-3,0)$：$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 0& 4\\ 0& 0& 2& 8& -6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 0& 4\\ 0& 0& 1& 4& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& -4& 7\\ 0& 0& 1& 4& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$设自由变量 $x_2,x_4$ 分别为 $1,0$ 和 $0,1$，则可求出当 $\mathbf{b}=0$ 时零空间部分 ${\mathbf{x}}_n$：$$特殊解{\mathbf{s}}_1=(-2,1,0,0){\mathbf{s}}_2=(4,0,-4,1)$$则 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$（和 $R\mathbf{x}=\mathbf{d}$）的完全解 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+c_1{\mathbf{s}}_1+c_2{\mathbf{s}}_2$。
对于矩阵 $A$，有 $2(\text{row1})+(\text{row2})-(\text{row3})=(0,0,0,0)$，因此 $\mathbf{y}=(2,1,-1)$，对于 $\mathbf{b}$ 来说同样的组合是 $2\cdot (4)+1\cdot (2)-1\cdot (10)=0$。
如果行的组合（左侧）得到零行，则右侧同样的组合也会得到 $0$，若没有得到 $0$ 则方程无解。
换一种表述方法：若 $A$ 的每一列都垂直于 $(2,1,-1)$，则这些列的任意组合 $\mathbf{b}$ 也与 $\mathbf{y}$ 垂直，否则 $\mathbf{b}$ 就不再 $A$ 的列空间中，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 就无解。
如果 $\mathbf{y}$ 在 $A^T$ 的零空间中，则 $\mathbf{y}$ 肯定垂直于所有 $A$ 列空间中的 $\mathbf{b}$。