3.2 A 的零空间：求解 Ax=0 和 Rx=0

一、零空间

$A\mathbf{x}=0$ 所有的解构成一个子空间，称为零空间。$A$ 是 $m\times n$ 的矩阵，它可以是方阵也可以是矩形的。右侧的向量 $\mathbf{b}=0$，我们可以立即求出它的一个解是 $\mathbf{x}=0$，对于可逆矩阵来说这是它的唯一解，对于不可逆矩阵，则 $A\mathbf{x}=0$ 有非零解，这些解都在 $A$ 的零空间中。
消元法可以找到所有的解，并且鉴别这个非常重要的子空间。$$零空间N(A)由A\mathbf{x}=0所有的解组成。这些向量\mathbf{x}都在{\text{R}}^n中。$$下面来检验这些解可以形成子空间。假设 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 都在零空间中，即有 $A\mathbf{x}=0$ 且 $A\mathbf{y}=0$，由矩阵的乘法法则可得 $A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=0+0$；同样可得 $A(c\mathbf{x})=c0$，右侧的向量仍然是零。因此，$\mathbf{x}+\mathbf{y}$ 和 $c\mathbf{x}$ 都在零空间 $N(A)$ 中，即在零空间中向量的加法和数乘封闭，所以，它是一个子空间。
注： 解 $\mathbf{x}$ 有 $n$ 个分量，它们是 ${\text{R}}^n$ 中的向量，因此零空间 $N(A)$ 是 ${\text{R}}^n$ 的一个子空间，列空间 $C(A)$ 是 ${\text{R}}^m$ 的一个子空间。

【例1】描述 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right]$ 的零空间，这是一个奇异矩阵！
解： 对线性方程 $A\mathbf{x}=0$ 使用消元法：$$\begin{array}{c}{x}_1+2x_2=0\\ 3x_1+6x_2=0\end{array}\to \begin{array}{c}{x}_1+2x_2=0\\ 0=0\end{array}$$这里实际上只有一个方程，第二个方程是第一个方程的 $3$ 倍。在行图像中，直线 $x_1+2x_2=0$ 与直线 $3x_1+6x_2=0$ 完全相同，这条直线就是零空间 $N(A)$，它包含所有的解 $(x_1,x_2)$。
有一个有效的方法用来描述 $A\mathbf{x}=0$ 的解：取直线上的一点（一个特殊解），该直线上所有的点都是这个点的倍数。我们让第二个分量 $x_2=1$（一个特殊选择），由方程 $x_1+2x_2=0$，则第一个分量一定是 $x_1=-2$，这个特殊解 $\mathbf{s}=(-2,1)$。

$$特殊解A\mathbf{s}=0A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right]的零空间包含\mathbf{s}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]的所有倍数$$

通过计算 $A\mathbf{x}=0$ 的特殊解，这是描述零空间最好的方法。因为我们令自由变量 $x_2=1$，所以这个解是特殊解。$$A的零空间由所有A\mathbf{x}=0特殊解的线性组合组成。$$【例2】$x+2y+3z=0$ 来自于 $1\times 3$ 的矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$，$A\mathbf{x}=0$ 产生一个平面。该平面上的所有向量都与 $(1,2,3)$ 垂直，这个平面就是 $A$ 的零空间。这里由两个自由变量 $y$ 和 $z$：将它们设为 $0$ 和 $1$$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=0有两个特殊解{\mathbf{s}}_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]和{\mathbf{s}}_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$向量 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 都在平面 $x+2y+3=0$ 上，该平面上所有的向量就是 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 的线性组合。
注意 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 的特殊性，后面两个是自由分量，我们特意将它们设成 $1,0$ 和 $0,1$，则由方程 $A\mathbf{x}=0$ 可以确定第一分量分别是 $-2$ 和 $-3$。
$x+2y+3z=6$ 所有的解也都在一个平面上，但是这个平面不是子空间，因为 $\mathbf{x}=0$ 时不在该平面上。

本节有两个关键步骤：
（1）将 $A$ 简化成行阶梯形式 $R$
（2）求 $A\mathbf{x}=0$ 的特殊解

二、主元列和自由列

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$ 的第一列是唯一的主元，所以 $\mathbf{x}$ 的第一分量不是自由的。自由分量对应的是没有主元的列。特殊选择（$1$ 或 $0$）只能用在特殊解的自由变量。

【例3】求 $A、B、C$ 的零空间，并且求出 $C\mathbf{x}=0$ 的两个特殊解。$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 8\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}A\\ 2A\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 8\\ 2& 4\\ 6& 16\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}A& 2A\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 4\\ 3& 8& 6& 16\end{array}\right]$$解： $A\mathbf{x}=0$ 只有一个解 $\mathbf{x}=0$，$A$ 零空间就是 $\text{Z}$，只包含 ${\text{R}}^2$ 空间中的一个点 $\mathbf{x}=0$，我们可以通过消元法来得到答案：$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]消元后得\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]即有\left[\begin{array}{c}{x}_1=0\\ x_2=0\end{array}\right]$$$A$ 是可逆矩阵，没有特殊解，两列都有主元。
矩形矩阵 $B$ 与 $A$ 是相同的零空间 $\text{Z}$。$B\mathbf{x}=0$ 的前两个方程会得到 $\mathbf{x}=0$，后两个方程同样会得到 $\mathbf{x}=0$。如果我们增加额外的方程（额外的行），零空间不可能会变大，因为多出来的行会对零空间中的 $\mathbf{x}$ 有更多的限制条件。
矩形矩阵 $C$ 和前两个矩阵的零空间不同，它有额外的列而不是额外的行，这样解 $\mathbf{x}$ 就有 $4$ 个分量，消元会在 $C$ 的前两列产生主元，但是 $C$ 和 $U$ 的后两列是自由列，它们没有主元：

对于自由变量 $x_3$ 和 $x_4$，我们选取特殊的 $1$ 和 $0$。首先令 $x_3=1,x_4=0$，然后令 $x_3=0,x_4=1$，主元变量 $x_1$ 和 $x_2$ 就可以由方程 $U\mathbf{x}=0$（或 $C\mathbf{x}=0$）解出。这样就得到了 $C$ 零空间的两个特殊解，也是 $U$ 的零空间：消元法不会改变解。
$$\begin{array}{c}特殊解\\ C\mathbf{s}=0\\ U\mathbf{s}=0\end{array}{\mathbf{s}}_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{s}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\\ 1\end{array}\right]\begin{array}{c}\}主元变量\\ \}自由变量\end{array}$$

三、简化行阶梯形式 R

若 $A$ 是矩形矩阵，当我们得到上三角 $U$ 后，还可以继续化简，通过下面两步，可以得到最简的形式 $R$：

$$\begin{array}{cc}1、将主元上方变为0;& 在R中，使用主元行向上消元\\ 2、将主元变为1.& 将整个主元行除以它的主元\end{array}$$

这些步骤不会改变方程右侧的零向量，零空间都是一样的：$N(A)=N(U)=N(R)$。得到简化行阶梯形式（Reduced row echelon form）$R=rref(A)$ 后，能更容易观察零空间。$R$ 的主元列包含单位矩阵 $I$。

$$简化形式RU=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 4\\ 0& 2& 0& 4\end{array}\right]变为R=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ 0& 1& 0& 2\end{array}\right]$$

$U$ 的行 $1$ 减去行 $2$，然后行 $2$ 乘上 $\frac{1}{2}$ 得到主元等于 $1$。现在有 $(自由列3)=2(主元列1)$，因此 $-2$ 会出现在 ${\mathbf{s}}_1=(-2,0,1,0)$，特殊解可以很容易从 $R\mathbf{x}=0$ 求得。$R$ 的每个自由列，改变所有的符号就可以得到 $\mathbf{s}$。第二个特殊解是 ${\mathbf{s}}_2=(0,-2,0,1)$。
对于很多矩阵来说，$A\mathbf{x}=0$ 仅有唯一解 $\mathbf{x}=0$，它们的零空间 $N(A)=\text{Z}$ 仅仅包含零向量，没有特殊解。唯一可以产生 $\mathbf{b}=0$ 的列的组合就是 “零组合”。$A\mathbf{x}=0$ 的就是平凡（trivial）解（只有 $\mathbf{x}=0$），但是这个概念不平凡。
这种零空间是 $\text{Z}$ 的情况是非常重要的，它说明 $A$ 的各列是无关的， 没有组合（除了零组合）可以得到零向量。所有的列都有主元，没有自由列。
$$\begin{gathered} 阶梯矩阵R的主元变量和自由变量 \\ A=\left[\begin{array}{ccccc}p& p& f& p& f\\ |& |& |& |& |\\ |& |& |& |& |\\ |& |& |& |& |\\ |& |& |& |& |\end{array}\right]R=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& a& 0& c\\ 0& 1& b& 0& d\\ 0& 0& 0& 1& e\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{s}}_1=\left[\begin{array}{c}-a\\ -b\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]{\mathbf{s}}_2=\left[\begin{array}{c}-c\\ -d\\ 0\\ -e\\ 1\end{array}\right] \\ 3个主元列pI在主元列特殊解R{\mathbf{s}}_1=0和R{\mathbf{s}}_2=0 \\ 2个自由列fF在自由列从R中取-a到-e \\ R中显露3个主元：秩r=3R\mathbf{s}=0则A\mathbf{s}=0 \\ R中表明:column3=a(column1)+b(column2)，A中也有同样的关系。 \\ 特殊解{\mathbf{s}}_1也表明了上述组合，(-a,-b,1,0,0)有R{\mathbf{s}}_1=0。 \\ A的零空间=R的零空间={\mathbf{s}}_1和{\mathbf{s}}_2的所有组合。 \end{gathered}$$下面是有 $3$ 个主元的 $4\times 7$ 简化行阶梯矩阵 $R$ 的步骤：

$$R=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& x& x& x& 0& x\\ 0& 1& x& x& x& 0& x\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& x\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\begin{array}{c}三个主元变量x_1,x_2{x}_6\\ 四个自由变量x_3,x_4,x_5,x_7\\ N(R)中有四个特殊解\\ 主元行和主元列中含有I\end{array}$$

问题： 矩阵 $R$ 的列空间和零空间分别是什么？
答： $R$ 的列空间有 $4$ 个分量，因此它在 ${\text{R}}^4$ 中。每个列的第四个分量都是 $0$，因此所有列的线性组合即列空间的每个向量的第四个分量都是 $0$，列空间 $C(R)$ 由所有形如 $(b_1,b_2,b_3,0)$ 的向量组成，对于这些向量 $R\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。
零空间 $N(R)$ 是 ${\text{R}}^7$ 的子空间，$R\mathbf{x}=0$ 的解是四个特殊解的所有组合——每个特殊解对应一个自由变量：

1. 列 $3,4,5,7$ 没有主元，因此四个自由变量是 $x_3,x_4,x_5,x_7$。
2. 将其中一个自由变量设为 $1$，另外三个自由变量设为 $0$。
3. 求出 $R\mathbf{x}=0$ 的三个主元变量 $x_1,x_2,x_6$ 就得到 $\mathbf{s}$。

计算主元的个数得到一个非常重要的定理：假设 $A$ 的列数多于行数，当 $n>m$ 时，则至少有一个自由变量，$A\mathbf{x}=0$ 至少有一个特殊解，这个解不是零。

假设 $A\mathbf{x}=0$ 未知数的个数比方程的个数多（$n\times m$，列数比行数多），则至少有一个自由列，$A\mathbf{x}=0$ 有非零解。

一个又矮又宽的矩阵（$n>m$）的零空间必有非零向量，因为主元的个数不可能超过 $m$，所以至少有 $n-m$ 个自由变量。（矩阵只有 $m$ 行，每行不可能存在 $2$ 个主元）。一行可能没有主元 —— 这意味着存在自由变量，这里的重点是：当存在自由变量时，它可以被设为 $1$，此时 $A\mathbf{x}=0$ 至少有一些列非零解。
零空间是一个子空间，它的 “维度” 就是自由变量的数量。

四、矩阵的秩

数字 $m、n$ 给出了矩阵的大小，但是不一定是线性系统的真正大小，例如方程 $0=0$ 就不算。如果矩阵 $A$ 有两个相同的行，那么消元后第二行将会消失；同样的如果行 $3$ 是行 $1$ 和行 $2$ 组合，那么行 $3$ 在上三角矩阵 $U$ 和简化阶梯矩阵 $R$ 中都会变成 $0$。我们不会计算全 $0$ 的行，$A$ 的真正大小是由矩阵的秩（rank）决定的。

$$秩的定义A的秩就是主元的个数，用r表示。$$

最终的矩阵 $R$ 有 $r$ 个非零行。下面是一个 $3\times 4$ 矩阵的例子，秩 $r=2$：$$4列，2个主元A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 1& 2& 2& 5\\ 1& 3& 2& 6\end{array}\right]R=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$$A$ 的前两列是 $(1,1,1)$ 和 $(1,2,3)$，它们是不同的方向，这些是主元列（将会在 $R$ 中显现）。第三列 $(2,2,2)$ 是第一列的倍数，该列不会有主元；第四列 $(4,5,6)$ 是前三列的和，因此第四列也没有主元。矩阵 $A$ 和 $R$ 的秩就是 $2$。$$\begin{gathered} 每个自由列都是前面主元列的组合，特殊解\mathbf{s}会告诉我们这些组合： \\ \text{Column}3=2(\text{column}1)+0(\text{column}2){\mathbf{s}}_1=(-2,-0,1,0) \\ \text{Column}4=3(\text{column}1)+1(\text{column}2){\mathbf{s}}_2=(-3,-1,0,1) \end{gathered}$$$R$ 的列 $3$ 中的数字 $2,0$ 出现在 ${\mathbf{s}}_1$ 中（符号相反）；$R$ 的列 $4$ 中的数字 $3,1$ 出现在 ${\mathbf{s}}_2$ 中（符号相反）。

五、秩一

秩一矩阵只有一个主元，消元后第一列产生 $0$ 后，其它列也会得到 $0$，每一行都是主元行的倍数，同时每一列都是主元列的倍数。$$秩一矩阵A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 10\\ 2& 6& 20\\ 3& 9& 30\end{array}\right]\to R=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 10\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$秩一矩阵的列空间是一维的，这里所有的列都是通过 $\mathbf{u}=(1,2,3)$ 的直线，$A$ 的列分别是 $\mathbf{u}$，$3\mathbf{u}$ 和 $10\mathbf{u}$，将这些数字放在一行 ${\mathbf{v}}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 10\end{array}\right]$ 就可以得到这个特殊的秩一形式 $A=\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T$：$$A=列乘行=\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 10\\ 2& 6& 20\\ 3& 9& 30\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 10\end{array}\right]\\ \\ \end{array}$$对于秩一矩阵，$A\mathbf{x}=0$ 会很好理解，由方程 $\mathbf{u}({\mathbf{v}}^T\mathbf{x})=0$ 可以得到 ${\mathbf{v}}^T\mathbf{x}=0$，因此，所有零空间中的向量 $\mathbf{x}$ 都与行空间中的 $\mathbf{v}$ 垂直。$r=1$ 的几何意义是：$行空间=直线，零空间=垂直的平面$。

【例4】当所有的行都是主元行的倍数时，则矩阵的秩有：$r=1$：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 2& 6& 8\end{array}\right]与\left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 5\end{array}\right]与\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]与\left[\begin{array}{c}6\end{array}\right]都为秩一矩阵$$

这些矩阵在 MATLAB 中可以使用简化行阶梯指令 $R=rref(A)$ 来检验：

$$R=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]与\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]与\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]与\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]都只有一个主元$$

第二个秩的定义更高阶，它处理整个行与整个列——处理的是向量而不只是数字。这三个矩阵 $A$、$U$ 和 $R$ 都有 $r$ 个无关行。
$A$、$U$ 和 $R$ 同样也有 $r$ 个无关列（主元列）。
秩的第三个定义是线性代数的最高层次，它处理的是向量空间。秩 $r$ 是列空间的维数，也是行空间的维数。而 $n-r$ 是零空间的维数。

六、消元法：大局

这里在向量和子空间层次来说明消元法，其中 $A$ 简化至 $R$。消元法从第一主元开始，一次移动一列（从左到右），以及一次移动一行（从上到下）。在移动时，消元法可以回答以下两个问题：
问题1：该列是前面列的线性组合吗？
如果该列有主元，那么就不是，主元列与前面的列是无关的。如果该列没有主元，则它是前面列的组合。
问题2：该行是前面行的线性组合吗？
如果该行有主元，则不是，主元行与前面的行是无关的。如果该行没有主元，则它是前面行的组合。
通过矩阵消元这一过程，就可以同时回答以上两个问题，实际上消元得到的是上三角矩阵 $U$，并不是行简化矩阵 $R$，从 $U$ 到 $R$ 需要从底部向上进行消元。$U$ 可以告诉我们哪些列是前面较早列的组合（失去主元的），而 $R$ 则会告诉我们是什么样的组合。
换句话说，通过 $R$ 我们可以得到 $A\mathbf{x}=0$ 的特殊解。 我们可以通过不同的行交换和消元的方法从 $A$ 得到 $R$，但是得到的 $R$ 是相同的（因为 $A$ 决定了特殊解）。$R$ 展现了三个基础子空间的 “基底（base）”：

• $A$ 的列空间 —— 选择 $A$ 的主元列为基底。
• $A$ 的行空间 —— 选择 $R$ 的非零行为基底。
• $A$ 的零空间 —— 选择 $R\mathbf{x}=0$ 的特殊解为基底。

我们从消元法也得到了一个最重要的数值 —— 秩 $r$ 。这个数字主元列和主元行的个数，$n-r$ 是自由列和特殊解的个数。
简化 $\left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]$ 到 $\left[\begin{array}{cc}R& E\end{array}\right]$ 可以得到 $A$ 的几乎所有信息（包括 $EA=R$）。矩阵 $E$ 是 $A$ 到 $R$ 的消元记录；当 $A$ 是可逆方阵时，$R$ 就是 $I$，$E$ 就是 $A^{-1}$。

七、主要内容总结

1. 零空间 $N(A)$ 是 ${\text{R}}^n$ 的子空间，它包含 $A\mathbf{x}=0$ 的所有解。
2. 对 $A$ 进行消元可以得到一个行简化矩阵 $R$，它含有主元列和自由列。
3. 每个自由列都可以得到一个特殊解，令其中一个自由变量为 $1$，其它的为 $0$ 即可求出特殊解。
4. $A$ 的秩 $r$ 是主元的个数，$R=rref(A)$ 的所有主元都是 $1$。
5. $A\mathbf{x}=0$ 的完整解是 $n-r$ 个特殊解的组合。
6. 如果 $n>m$，则 $A$ 至少有一个自由列，$A\mathbf{x}=0$ 有非零解。

八、例题

【例5】如果 $EA=R$ 且 $E$ 可逆，则为什么 $A$ 和 $R$ 有相同的零空间？
解： 若 $A\mathbf{x}=0$，则 $R\mathbf{x}=EA\mathbf{x}=E0=0$；
若 $R\mathbf{x}=0$，则 $A\mathbf{x}=E^{-1}R\mathbf{x}=E^{-1}0=0$。
所以 $A$ 和 $R$ 有相同的零空间，且有相同的行空间和秩。

【例6】创建一个 $3\times 4$ 的矩阵 $R$，并且 $R\mathbf{x}=0$ 的特殊解为 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$：$${\mathbf{s}}_1=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]，{\mathbf{s}}_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -6\\ 1\end{array}\right]\begin{array}{c}主元列是列1和列3\\ 自由变量是x_2和x_4\end{array}$$描述所有可能的矩阵A，它的零空间 $N(A)=所有的{\mathbf{s}}_1和{\mathbf{s}}_2的组合$。
解： 简化矩阵 $R$ 在列 $1$ 和列 $3$ 的主元为 $1$，由于没有第三主元，所以 $R$ 的行 $3$ 全为 $0$。自由列 $2$ 和 $4$ 是主元列的组合：$R$ 的 $3,0,2,6$ 是从 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 中的 $-3,-0,-2,-6$ 得来的，每个 $A=ER$。
每个 $3\times 4$ 的矩阵至少有一个特殊解，这个矩阵有两个：$$R=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]有R{\mathbf{s}}_1=0且R{\mathbf{s}}_2=0$$【例7】求矩阵 $A$ 和 $B$ 的行简化形式 $R$ 以及它们的秩（与 $c$ 有关）。哪个是矩阵 $A$ 的主元列？特殊解是什么？$$求特殊解A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 6& 3\\ 4& 8& c\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}c& c\\ c& c\end{array}\right]$$解： 对于矩阵 $A$，它的第二行是第一行的 $3$ 倍，若 $c\ne 4$，则 $A$ 的秩为 $2$；主元列是列 $1$ 和列 $3$，自由变量是 $x_2$，注意 $R$ 的形式，行 $3$ 移到了行 $2$ 的位置。$$c\ne 4R=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]c=4R=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$当 $c=4$ 时，只有列 $1$ 是主元列（秩一），第二和第三个变量是自由变量。特殊解：$$c\ne 4特殊解(-2,1,0)c=4另一特殊解(-1,0,1)$$$2\times 2$ 的矩阵 $B=\left[\begin{array}{cc}c& c\\ c& c\end{array}\right]$，当 $c\ne 0$ 时，$r=1$；当 $c=0$ 时，$r=0$。$$c\ne 0R=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]c=0R=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]零空间为{\text{R}}^2$$