【入门级-C++程序设计：9、函数与递归：递归函数】

一、递推概念
讲解递归之前，首先介绍一下递推，顾名思义递推是通过已知的初始条件和递推关系式，逐步推导出后续结果的方法。它通常表现为循环结构。
举例说明：求阶乘的递推实现
int factorial(int n) {
int result = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
result *= i;
}
return result;
}
程序思路说明：例如我们要求出5的阶乘，如果我已经知道4的阶乘，再乘以5就可以了，那么我们要求4的阶乘，只要我们知道3的阶乘，再乘以4就可以了，以此类推，最终，如果我们知道1的阶乘，反过来一次乘以2，然后将结果再乘以3，等等，最终就可以求出5的阶乘。通过上面这个程序，利用循环就可以实现。

递推特点
循环结构：使用循环语句实现
自底向上：从已知条件开始逐步构建，逐步细化，求出最终结果
状态保存：通常使用变量或数组保存中间结果
效率较高：没有函数调用开销

二、递归函数
概念：是指在函数体内直接或间接调用自身的函数（说白了就是函数自己调用自己）。递归主要是解决某些特殊问题的强大技术，特别是那些可以分解为相似子问题的问题。
举例说明：求阶乘的递推实现
unsigned long long factorial(int n) {
// 基准条件
if(n == 0 || n == 1) {
return 1;
}
// 递归条件
else {
return n * factorial(n - 1);
}
}

程序思路说明：例如我们要求出5的阶乘，如果有人可以告诉我4的阶乘的话，我将4的阶乘乘以5就可以得到5的阶乘，至于4的阶乘是怎么求出来的，我并不关心；同样，如果有人告诉我3的阶乘的话，我将3的阶乘乘以4就可以求出4的阶乘了，以此类推，要求2的阶乘，只要将1的阶乘乘以2就可以求出2的阶乘，而1的阶乘是1，0的阶乘等于 1。这个是不需要求的。
上面这段程序的说明：
1、函数factorial是一个递归函数，实现求一个数的阶乘，factorial是函数名
2、当我们求0的阶乘的时候，函数形参n等于0，函数factorial执行的时候，进人到if分支，此时函数返回值为1，实现计算0的阶乘，结果为1。
3、当我们求1的阶乘的时候，函数形参n等于1，函数factorial执行的时候，进人到if分支，此时函数返回值为1，实现计算1的阶乘，结果为1。
4、当我们求2的阶乘的时候，函数形参n等于2，函数factorial执行的时候，进人到else分支，此时函数调用语句n * factorial(n - 1)，语句展开后为2* factorial(1)，这里factorial(1)本身就是一个函数，是函数自己调用自己，也就是函数的递归调用；factorial(1)这个函数调用后，函数进人到if语句，执行结果为1，然后2* factorial(1)展开后，就是2*1，结果为2，最终结算出2的阶乘是2。
5、读者可以自己尝试，当n等于3，等于4的时候，自己去一步一步的分析，这个递归函数的调用关系，体会函数递归调用的原理。

递归的基本要素
基准条件：递归终止的条件，防止无限递归
递归条件：函数调用自身的条件
逐步逼近基准条件：每次递归调用都应使问题向基准条件靠近

递归优点：
代码简洁，可读性强，易于理解和实现
递归将问题分解为子问题，避免了重复编写处理相似逻辑的代码，降低维护成本
适合解决具有递归结构问题，如树遍历、排序算法等

递归缺点：
可能有较高的内存开销（每次调用都会在栈上创建新的栈帧）
空间开销大，可能导致栈溢出（对于深度递归）
调试难度高，错误定位（如死循环、边界条件错误）比循环更复杂。例如，若递归缺少终止条件，会导致无限递归，最终引发栈溢出，且调试时难以跟踪每层的状态。
逻辑理解门槛高，递归的 “自调用” 逻辑需要逆向思维（从问题结果反推子问题）