5、密码学基础与应用解析

密码学基础与应用解析

1. 密码学中的数学基础

在密码学领域，RSA 加密算法依赖于素因数分解，半素数的分解极为困难，这形成了一种陷门（单向）函数。类似地，基于椭圆曲线的算法会运用离散对数，在椭圆曲线上找到一个随机元素相对于同曲线上某一点的离散对数是一个极具挑战性的问题。

椭圆曲线在密码学中有着重要应用，它是在有限域中构建的曲线，其形式为 (y^2 = x^3 + ax + b \mod (p))。这里的模运算 (p) 表明该曲线处于一个阶为 (p) 的素数有限域上。

1.1 椭圆曲线相关术语和参数

• 有限域 ：由素数参数 (p) 定义的具有有限个元素的域，即 (F_p = {0, \ldots, p - 1})，在方程中用模 (p) 表示。
• 椭圆曲线域参数 ：ECC 中使用的元素必须由加密参与者达成一致，这些元素被称为椭圆曲线域参数，包括 ({p, a, b, G, n, h})。
  • (p) ：定义有限域的素数。
  • (a) 和 (b) ：方程中的常数。
  • (G) ：曲线所有点的集合由这个生成元（也称为基点）定义。
  • (n) ：基点或生成元 (G) 的阶，是使得 (nG = \infty) 的最小正整数 (n)。
  • (h) ：余因子，是群和