15、电力系统级联故障预测与预防的优化方法

电力系统级联故障预测与预防的优化方法

1. 直流潮流方程相关证明

1.1 方程 7.2 的证明

根据直流潮流方程，有 $\theta_k = (B_k)^{-1} \ast P$，其中 $B_k = A^T diag(Y_k^p)A$，$\theta_k = (\theta_{k1}, \theta_{k2}, \ldots, \theta_{k_{nb}})^T$。设 $B_{k_{ij}}$ 表示矩阵 $B_k$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。那么从母线 $i$ 到母线 $j$ 的潮流可以通过以下方式计算：
$P_{k_{ij}} = B_{k_{ij}}(\theta_{k_i} - \theta_{k_j})$
$= e_i^T B_k e_j (e_i - e_j)^T \theta_k$
$= e_i^T B_k e_j (e_i - e_j)^T (B_k)^{-1} \ast P$
$= e_i^T A^T diag(Y_k^p)A e_j (e_i - e_j)^T (A^T diag(Y_k^p)A)^{-1} \ast P$

1.2 命题 7.3.3 的证明

设计如下 Lyapunov 函数：
$V(P, \lambda, \tau) = \frac{1}{2}(|P - P^ |^2 + |\lambda - \lambda^ |^2 + |\tau - \tau^ |^2)$
$V(P, \lambda, \tau)$ 沿鞍点动态方程（7.6）的时间导数为：
$\dot{V}(P, \lambda, \tau) = (