17、渐近性、不等式与组合数的推广

渐近性、不等式与组合数的推广

1. 渐近性与不等式概述

在组合数学中，序列的渐近性和不等式是非常重要的研究内容。以下是一些相关的重要结论：
- Hsu 的渐近公式 ：当 $n$ 趋于无穷大且 $k$ 固定时，有
[
\left{\begin{array}{c}
n + k\
n
\end{array}\right}=\frac{n^{2k}}{2^{k}k!}\left(1+\frac{f_1(k)}{n}+\frac{f_2(k)}{n^{2}}+\cdots+\frac{f_t(k)}{n^{t}}+O\left(\frac{1}{n^{t + 1}}\right)\right)
]
其中 $f_i(k)$ 是次数为 $2i$ 的多项式，特别地，$f_1(k)=\frac{1}{3}(2k^{2}+k)$，$f_2(k)=\frac{1}{18}(4k^{4}-k^{2}-3k)$。通过指标变换可得
[
\left{\begin{array}{c}
n\
n - k
\end{array}\right}=\frac{n^{2k}}{2^{k}k!}\left(1-\frac{k(4k - 1)}{3n}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)
]
- Lah 数水平和的渐近性 ：Mező 研究了 Lah 数的 $L_n$ 水平和的渐近性，得到
[
L_n\sim\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{e}}\frac{1}{n^