15、组合计数序列的展望与渐近分析

组合计数序列的展望与渐近分析

在组合数学的研究中，计数序列的精确值在参数很大时往往难以确定。不过，我们可以通过一些方法对其进行近似估计，了解它们的增长速度。下面将介绍一些相关的有趣内容。

1. 欧拉数与第一类斯特林数的有趣应用

• 数字进位与马尔可夫链 ：J. M. Holte 研究了在以 $b$ 为基数的情况下，随机数相加时的数字进位问题。对应的马尔可夫链及其转移矩阵与欧拉数和第一类斯特林数相关。
• 偏序集与格理论 ：之前提到的链只是冰山一角，其背后的理论是偏序集和格理论。我们提到的链属于子集格。
• 特定级数的研究 ：级数 $\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{i^n x^i}{i!}$ 和 $\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{i^n}{i^x}$ 也有人进行研究。

2. 无限排列中的上升、下降和游程

在无限排列（正整数的双射）中，也可以定义上升、下降和游程。设 $L_k$ 表示均匀选取的无限随机排列中第 $k$ 个游程的平均长度。这里“均匀选取”意味着前 $n$ 个元素的 $n!$ 种可能相对顺序的概率相等。可以证明，对于所有的 $k$，有：
$L_k = \sum_{n = 1}^{\infty} \left\langle \begin{array}{c} n \ k - 1 \end{array} \right\rangle \frac{1}{n!}$
特别地：
$L_1 = e - 1 \appr