11、组合计数序列中的单峰性、对数凹性与对数凸性

组合计数序列中的单峰性、对数凹性与对数凸性

1. 计数序列的递归关系

当 (K_n + 2 \leq k \leq n + 1) 时，利用递归式 (1.5)，并通过对称性 (\binom{n}{m}=\binom{n}{n - m}) 对其进行改写：
(\begin{align }
\left{\begin{array}{c}n + 1\k\end{array}\right}&=\sum_{m = 1}^{n + 1}\binom{n}{m - 1}\left{\begin{array}{c}n + 1 - m\k - 1\end{array}\right}\
&=\sum_{m = 1}^{n + 1}\binom{n}{n - m + 1}\left{\begin{array}{c}n - m + 1\k - 1\end{array}\right}\
&=\sum_{m = 0}^{n}\binom{n}{m}\left{\begin{array}{c}m\k - 1\end{array}\right}
\end{align })
再对参数 (n + 1) 和 (k - 1) 写出相同形式并相减可得：
(\left{\begin{array}{c}n + 1\k\end{array}\right}-\left{\begin{array}{c}n + 1\k - 1\end{array}\right}=\sum_{m = 0}^{n}\binom{n}{m}\left(\left{\begin{array}{c}m\k - 1\end{array}\right}-\left{\begin{array}{