51、常微分方程系统数值解法及案例分析

常微分方程系统数值解法及案例分析

1. 高阶RK方法效率分析

在求解常微分方程的数值方法中，$n$ 阶Runge - Kutta（RK）方法需要进行一定数量的函数评估。有趣的是，对于四阶以上的方法，通常需要额外进行一到两次函数评估。由于函数评估占据了大部分的计算时间，因此五阶及更高阶的方法通常被认为比四阶方法效率低，这也是四阶RK方法广受欢迎的主要原因之一。

2. 常微分方程系统

在工程和科学领域的许多实际问题中，需要求解联立常微分方程系统，而不是单个方程。这类系统一般可以表示为：
$\frac{dy_1}{dt} = f_1(t, y_1, y_2, \cdots, y_n)$
$\frac{dy_2}{dt} = f_2(t, y_1, y_2, \cdots, y_n)$
$\cdots$
$\frac{dy_n}{dt} = f_n(t, y_1, y_2, \cdots, y_n)$

求解这样的系统需要知道在起始时刻 $t$ 的 $n$ 个初始条件。以蹦极运动员的速度和位置计算为例，在自由落体阶段，该问题可归结为求解以下常微分方程系统：
$\frac{dx}{dt} = υ$
$\frac{dυ}{dt} = g - \frac{c_d}{m}υ^2$

如果将运动员起跳的静止平台定义为 $x = 0$，那么初始条件为 $x(0) = υ(0) = 0$。

3. 欧拉方法求解常微分方程系统

所有用于求解单个方程的方法都可以扩展到常微分方程系统。在工程应用中，可能会涉及数千个联立方程。求解系统方程的过程，就是在每一步对每个方程应