53、自适应方法与刚性系统：多步方法、刚性问题及MATLAB应用

自适应方法与刚性系统：多步方法、刚性问题及MATLAB应用

1. 多步方法概述

在求解常微分方程（ODE）时，之前介绍的单步方法利用单个点 $t_i$ 的信息来预测未来点 $t_{i + 1}$ 处因变量 $y_{i + 1}$ 的值。而多步方法则基于这样的思路：一旦计算开始，之前点的有价值信息可供我们使用。连接这些先前值的线的曲率提供了关于解的轨迹的信息，多步方法利用这些信息来求解ODE。

1.1 非自启动Heun方法

1.1.1 原理

Heun方法使用Euler方法作为预测器，梯形法则作为校正器。预测器和校正器的局部截断误差分别为 $O(h^2)$ 和 $O(h^3)$，预测器的误差较大，是该方法的薄弱环节。为了改进Heun方法，可以开发一个局部误差为 $O(h^3)$ 的预测器。

通过使用Euler方法、$y_i$ 处的斜率以及前一个点 $y_{i - 1}$ 的额外信息，可以得到预测器公式：
$\hat{y} {i + 1}^0 = y {i - 1} + f(t_i, y_i)2h$

该公式以使用更大的步长 $2h$ 为代价达到了 $O(h^3)$ 的精度。需要注意的是，这个方程不是自启动的，因为它涉及因变量的前一个值 $y_{i - 1}$，在典型的初值问题中，这样的值通常是不可用的。因此，上述预测器公式和校正器公式 $y_{i + 1} = y_i + \frac{f(t_i, y_i) + f(t_{i + 1}, \hat{y}_{i + 1}^0)}{2}h$ 被称为非自启动Heun方法。

1.1.2 步骤总结

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