40、热传递案例研究与数值微积分应用

热传递案例研究与数值微积分应用

热传递案例背景

在温带地区，湖泊在夏季会出现热分层现象。温暖、浮力较大的表层水会覆盖在寒冷、密度较大的底层水上，这种分层将湖泊垂直分为两层：上层的湖面温水层（epilimnion）和下层的湖底冷水层（hypolimnion），两层之间的分界面称为温跃层（thermocline）。

温跃层对于研究此类系统的环境工程师和科学家具有重要意义。它极大地减少了两层水之间的混合，导致底层水中有机物分解时，会严重消耗其中的氧气。

温跃层的位置可以定义为温度 - 深度曲线的拐点，即二阶导数 $d^2T/dz^2 = 0$ 的点，同时也是一阶导数（梯度）绝对值最大的点。温度梯度本身也很重要，因为它可以结合傅里叶定律来确定通过温跃层的热通量：
$J = -DρC \frac{dT}{dz}$
其中，$J$ 是热通量（单位：$cal/(cm^2 · s)$），$α$ 是涡流扩散系数（单位：$cm^2/s$），$ρ$ 是密度（约为 $1 g/cm^3$），$C$ 是比热（约为 $1 cal/(g · C)$）。

在这个案例研究中，我们使用自然三次样条来确定密歇根州普拉特湖的温跃层深度和温度梯度，并在 $α = 0.01 cm^2/s$ 的情况下计算热通量。相关数据如下表所示：
| z, m | T, °C |
| — | — |
| 0 | 22.8 |
| 2.3 | 22.8 |
| 4.9 | 22.8 |
| 9.1 | 20.6 |
| 13.7 | 13.9 |
| 18.3 | 11.7 |
| 22.9 | 11.1 |
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