37、多项式插值：拉格朗日插值、逆插值及相关问题探讨

多项式插值：拉格朗日插值、逆插值及相关问题探讨

1. 拉格朗日插值多项式

1.1 线性拉格朗日插值多项式

在许多实际问题中，我们常常需要根据已知的离散数据点来估计未知点的值，插值就是解决这类问题的一种有效方法。拉格朗日插值多项式是一种常用的插值方法。

假设我们要通过一条直线连接两个值，将线性插值多项式表示为这两个值的加权平均值：
[f (x) = L_1 f (x_1) + L_2 f (x_2)]
其中，(L) 是加权系数。第一个加权系数 (L_1) 是一条在 (x_1) 处等于 1，在 (x_2) 处等于 0 的直线，其表达式为：
[L_1 = \frac{x - x_2}{x_1 - x_2}]
同理，第二个系数 (L_2) 是一条在 (x_2) 处等于 1，在 (x_1) 处等于 0 的直线，表达式为：
[L_2 = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}]
将这些系数代入上述公式，就得到连接这两个点的直线：
[f_1(x) = \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} f (x_1) + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} f (x_2)]
这里的 (f_1(x)) 表示这是一个一阶多项式，上述公式被称为线性拉格朗日插值多项式。

1.2 二阶拉格朗日插值多项式

同样的策略也可以用于通过三个点拟合一条抛物线。对于这种情况，我们使用三条抛物线，每条抛物线都通过其中一个点，并且在另外两个点处等于零。它们的和将表示连接这三个点的唯一抛物线。二阶拉格朗日插值多项式可以写成：
[f_2(x) = \frac{